Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中且.設(shè).
（I）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集；
（II）若點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧��?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161340815327.gif" style="vertical-align:middle;" />，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；
（III）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當(dāng)時(shí)，試寫出一個(gè)條件，使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在處取得最小值”.【說明：請寫出你的分析過程.本小題將根據(jù)你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分.】

Answer 1

（I）在內(nèi)的解集為
（II）的最大值. 
（III）使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當(dāng)時(shí)，（）或當(dāng)時(shí)，（）”.

解：（I）由題意，…………………………1分
當(dāng)，，時(shí)，，…2分
，則有或，.
即或，.                        ……………4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161342921486.gif" style="vertical-align:middle;" />，故在內(nèi)的解集為.……5分
（II）由題意，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，故.   ……………6分
因此，，
所以，的值域.  ……………8分
又的解為0和，故要使恒成立，只需
，而，
即，所以的最大值.             …………………10分
（III）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231613438881547.gif" style="vertical-align:middle;" />，
設(shè)周期.
由于函數(shù)須滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在處取得最小值”.
因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖像特征可知，
，.
又因?yàn)�，形�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161344278810.gif" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)的圖像的對稱中心都是的零點(diǎn)，故需滿足，而當(dāng)，時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161344403790.gif" style="vertical-align:middle;" />，；所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；此時(shí)，，.
（i）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；
（ii）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；
綜上，使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當(dāng)時(shí)，（）或當(dāng)時(shí)，（）”.              ……………………………………………………14分
（第III小題將根據(jù)學(xué)生對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分）