Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于和四點(diǎn).設(shè)的中點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意確定出c與e的值，利用離心率公式求出a的值，進(jìn)而求出b的值，代入橢圓方程得答案；

（2）由直線AB與CD斜率存在，設(shè)為k，表示出AB方程，設(shè)出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而表示出M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出M，同理表示N，根據(jù)M,N的橫坐標(biāo)相同求出k的值，得到此時(shí)MN斜率不存在，直線恒過定點(diǎn)；若直線MN斜率存在，表示MN的斜率，進(jìn)而表示直線MN的方程，令，求出x的值，得到直線MN恒過定點(diǎn)；顯然直線AB或CD斜率不存在，也成立，綜上，得到直線MN恒過定點(diǎn)，求出坐標(biāo)即可.

（1）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)，所以，

又離心率，所以，即

故橢圓的方程為

（2）當(dāng)直線AB和CD斜率存在時(shí)

設(shè)直線AB方程為：，再設(shè)

則有中點(diǎn)

聯(lián)立方程，消去y得：

由韋達(dá)定理得： ，所以M的坐標(biāo)為

將上式中的k換成，同理可得N的坐標(biāo)為

若，即，，

此時(shí)直線MN斜率不存在，直線過定點(diǎn) ；

當(dāng)時(shí)，即直線MN斜率存在，則

直線MN為

令，得

此時(shí)直線MN過定點(diǎn)

顯然當(dāng)直線AB或CD斜率不存在時(shí)，直線MN就是x軸，也會(huì)過

綜上所述：直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為