Question

 已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)的圖象：

（1）寫出的解析式  

（2）記，討論的單調(diào)性 

（3）若時，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)；    （2）m≤0

【解析】本試題主要是考查了運(yùn)用對稱性求解函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的單調(diào)性和最值問題。

（1）設(shè)所求函數(shù)上任意一點(diǎn)，然后利用對稱性證明對稱后的點(diǎn)在原來的函數(shù)圖像上，得到解析式。

（2）因?yàn)楫?dāng)x∈[0.1]時，  f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x) =loga[（1+x）/(1-x)]

則利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到求解。

（3）時，總有成立，則求解函數(shù)的最小值即可得到參數(shù)m的范圍。

（1）設(shè)P（x,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的任意一點(diǎn)

   則P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-x,-y)

   ∵已知點(diǎn)Q在函數(shù)f(x)的圖像上

   ∴ -y=f(-x)，而f(x)=loga(x+1)

   ∴ -y=loga(-x+1)

   ∴y=-loga(-x+1)

   而P（x,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點(diǎn)

   ∴y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)

    （2）當(dāng)x∈[0.1]時，

    f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)

            =loga[（1+x）/(1-x)]

  下面求當(dāng)x∈[0.1]時，f(x)+g(x)的最小值

   令（1+x）/(1-x)=t,求得x= (t-1)/(t+1)

   ∵x∈[0.1]

 ∴ 0≤x≤1

  即0≤(t-1)/(t+1)≤1，解得t≥1

  ∴ （1+x）/(1-x)≥1，又a>1

  ∴ loga[（1+x）/(1-x)])≥loga1=0

 ∴ f(x)+g(x)≥0

 ∴ 當(dāng)x∈[0.1]時，f(x)+g(x)的最小值為0

 ∵ 當(dāng)x∈[0.1]時，總有f(x)+g(x)≥m成立

 ∴ m≤0

 ∴所求m的取值范圍：m≤0