下列命題中所有正確的是：
（1）（2）
（1）（2）

（1）每個定義域關于原點對稱的函數(shù)都可以分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和．
（2）若f（x）可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，則這種分解方法只有一種．
（3）非零奇函數(shù)與非零偶函數(shù)的和必為非奇非偶函數(shù)．
（4）f（x）=
9-x2
|x+5|+|3-x|
為非奇非偶函數(shù)．
分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和圖象的性質(zhì)分別判斷即可．
解答：解：（1）因為f（x）=
f(x)+f(-x)
2
+
f(x)-f(-x)
2
，設g(x)=
f(x)+f(-x)
2
，h(x)=
f(x)-f(-x)
2
，則g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，所以（1）正確．
（2）若f（x）可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，不妨設f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
則聯(lián)立兩式得，g(x)=
f(x)+f(-x)
2
，h(x)=
f(x)-f(-x)
2
，此種分解方法只有一種，所以（2）正確．
（3）由（1）（2）的證明過程知，非零奇函數(shù)與非零偶函數(shù)的和不一定是非奇非偶函數(shù)．所以錯誤．
（4）因為函數(shù)的定義域為[-3，3]，所以此時f(x)=
9-x2
x+5+3-x
=
9-x2
8
為偶函數(shù)，所以（4）錯誤．
故答案為：（1），（2）．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)是解決本題的關鍵，考查學生的分析能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中所有正確的序號是
（1）（4）
（1）（4）
．
（1）函數(shù)f（x）=ax-1+3（a＞0且a≠1）的圖象一定過定點P（1，4）；
（2）函數(shù)f（x-1）的定義域是（1，3），則函數(shù)f（x）的定義域為（2，4）；
（3）已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=8，則f（2）=-8；
（4）已知2a=3b=k（k≠1）且
1
a
+
2
b
=1，則實數(shù)k=18．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中所有正確的序號是
①④
①④
．
①函數(shù)f（x）=ax-1+3（a＞0且a≠1）的圖象一定過定點P（1，4）；
②函數(shù)f（x-1）的定義域是（1，3），則函數(shù)f（x）的定義域為（2，4）；
③已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=8，則f（2）=-8；
④f（x）=
1
1-2x
-
1
2
為奇函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中所有正確的序號是
（1）（3）（4）
（1）（3）（4）
．
（1）函數(shù)f（x）=ax-2+3的圖象一定過定點P（2，4）；
（2）函數(shù)f（x-1）的定義域是（1，3），則函數(shù)f（x）的定義域為（2，4）；
（3）已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2在區(qū)間[-5，5]是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a≥5；
（4）已知2a=3b=k（k≠1），且
1
a
+
2
b
=1，則實數(shù)k=18．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中所有正確的命題是：
（1），（3）
（1），（3）
．
（1）不同的兩個數(shù)a，b的等差中項A的絕對值必大于它們的等比中項G的絕對值．（等差中項A，等比中項G均存在）
（2）無窮等差數(shù)列中有三項是13，25，41，則2013一定是此數(shù)列中的一項．
（3）等比數(shù)列{an}中所有項均為正數(shù)，并且公比q≠1，則a2+a6＞a3+a5．
（4）對任何數(shù)列{an}（n≥3），都存在一個等差數(shù)列{xn}與一個等比數(shù)列{yn}，使得對任何n∈N*，an=xn+yn．

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