【題目】已知，如圖四棱錐中，底面為菱形，，，平面，E，M分別是BC，PD中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PC上移動(dòng).

（1）證明無論點(diǎn)F在PC上如何移動(dòng)，都有平面平面；

（2）當(dāng)直線AF與平面PCD所成的角最大時(shí)，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)易證得,,即證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.

(2) 以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)向量法求出線面成角的正弦值,求出取最大值時(shí)的參數(shù),依次求出法向量即可得出結(jié)果.

（1）連接AC.

底面ABCD為菱形，，

是正三角形，是BC中點(diǎn)，

，又，

，又平面，

平面，，

又，平面，

又平面，

平面平面.

（2）由（1）知，AE，AD，AP兩兩垂直，

以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知：，，，，，，

，，

而

且，

設(shè)平面PCD的法向量，

，取，

.根據(jù)題意，

線面角

當(dāng)時(shí)，最大，

此時(shí)F為PC的中點(diǎn)，即，

，，.

設(shè)平面AEF的法向量為，

平面AEM的法向量為，

，解得，

同理可得，

，

所以二面角的平面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn).

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（2）若，且的斜率為，當(dāng)時(shí)，求在軸上的截距的取值范圍（用表示），并證明的平分線始終與軸平行.

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（2）求二面角的余弦值.

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A.B.1C.D.

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A.①②B.②③C.①③D.①②③

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A.B.C.D.

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【題目】如圖1，在梯形中，，點(diǎn)在線段上，且滿足，將沿翻折，使翻折后的二面角的余弦值為，如圖2．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】2014年非洲爆發(fā)了埃博拉病毒疫情，在疫情結(jié)束后，當(dāng)?shù)胤酪卟块T做了一項(xiàng)回訪調(diào)查，得到如下結(jié)果，

患病

不患病

有良好衛(wèi)生習(xí)慣

20

180

無良好衛(wèi)生習(xí)慣

80

220

（1）結(jié)合上面列聯(lián)表，是否有的把握認(rèn)為是否患病與衛(wèi)生習(xí)慣有關(guān)？

（2）現(xiàn)從有良好衛(wèi)生習(xí)慣且不患病的180人中抽取，，，，共5人，再從這5人中選兩人給市民做健康專題報(bào)告，求，至少有一人被選中的概率.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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