【題目】(本小題滿分12分)已知橢圓C: 的離心率為,右焦點(diǎn)為(,0).(1)求橢圓C的方程;(2)若過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.
【答案】(1) ,(2) O到直線 的距離為定值.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)焦點(diǎn)和離心率列方程解出a,b,c;
(2)對(duì)于AB有無(wú)斜率進(jìn)行討論,設(shè)出A,B坐標(biāo)和直線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計(jì)算;
試題解析:(1)由右焦點(diǎn)為(,0),則 ,又離心率為,所以 , ,
則
(2) 設(shè) , ,若k存在,則設(shè)直線AB:y=kx+m.
得
有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原點(diǎn)到直線AB的距離 , 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), ,可得, 依然成立.所以點(diǎn)O到直線的距離為定值 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求的值;
(2)若對(duì)于任意的, 恒成立,求的取值范圍;
(3)求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)兩處的切線分別為l1,l2.若,且,求實(shí)數(shù)c的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),且最大值為10,最小值為4,則在區(qū)間上的最大值、最小值分別是( )
A. -4,-10 B. 4,-10
C. 10,4 D. 不確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)證明:;
(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示, 四棱錐底面是直角梯形, 底面, 為的中點(diǎn), .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使=成立,則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).
⑴當(dāng)時(shí),求的不動(dòng)點(diǎn);
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)不相同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證此結(jié)論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男生30人、女生20人),給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答,選題情況統(tǒng)計(jì)如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得,選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為,且答對(duì)的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯(cuò)的學(xué)生中任意抽取兩人對(duì)他們的答題情況進(jìn)行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2014山東.理15】已知函數(shù),對(duì)函數(shù),定義關(guān)于的對(duì)稱(chēng)函數(shù)為函數(shù),滿足:對(duì)于任意,兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若是關(guān)于的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”,且恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.
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