Question

【題目】已知，函數(shù)，．

（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線；

（Ⅱ）若函數(shù)在處有最大值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，從而寫出切線的方程；（Ⅱ）利用“先必要，后充分”的方法縮小參數(shù)范圍，減少分類討論的情形，并通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷并求解函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最值．

解：（Ⅰ）因為，

則，又有，

故函數(shù)在處的切線為．

（Ⅱ）由知函數(shù)的圖象過定點，且，又因為函數(shù)在處有最大值，則，即．

當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以在處有最大值，符合題意；

當時，，令，則，，從而知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上的最大值為或．

又因為，所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，且，可得，則．

綜上，實數(shù)的取值范圍為