【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0 ） 經(jīng)過點 P（1， ），離心率 e=
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設過點E（0，﹣2 ） 的直線l 與C相交于P，Q兩點，求△OPQ 面積的最大值．

【答案】解：（Ⅰ）由點 在橢圓上得， ①
又e= = ②，c2=a2﹣b2③
由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，
故橢圓C的標準方程為 ．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在，不合題意，可設直線l：y=kx﹣2，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
將y=kx﹣2代入橢圓方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞ 或k＜﹣ ．
x1+x2= ，x1x2= ，
|PQ|= |x1﹣x2|= =4 ，
又O到直線PQ的距離d= ，
則S△OPQ= d|PQ|=4 ，
設t= ，（t＞0），則4k2=3+t2 ，
即有S△OPQ= =
由t+ ≥2 =4，
當且僅當t=2，即k=± 時等號成立，足判別式大于0．
則S△OPQ≤1．
故△OPQ 面積的最大值為1
【解析】（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，以及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）當直線l的斜率不存在，不合題意，可設直線l：y=kx﹣2，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用判別式大于0和韋達定理，以及弦長公式，點到直線的距離公式，由三角形的面積公式，運用換元法和基本不等式即可得到所求最大值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列{an}滿足a1= ，an+1﹣an+anan+1=0（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓C經(jīng)過點A（1，1）和B（4，﹣2），且圓心C在直線l：x+y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）設M，N為圓C上兩點，且M，N關于直線l對稱，若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線MN的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】算法如圖，若輸入m=210，n=117，則輸出的n為（ ）
A.2
B.3
C.7
D.11

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(本小題滿分12分)

已知函數(shù)（其中a是實數(shù)）．

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若設，且有兩個極值點 ，求取值范圍．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】計算下列幾個式子，結果為 的序號是 ①tan25°+tan35° tan25°tan35°，
② ，
③2（sin35°cos25°+sin55°cos65°），
④ ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f （ x）= x2 ， g （ x）=a ln x（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù) F （ x）=f（x）g（x）的極值
（Ⅱ）若函數(shù) G（ x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）在區(qū)間 （ ，e） 內有兩個零點，求的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù) h（ x）=g （ x ）﹣x+ ，設 x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若 h（ x 2）﹣h（ x 1）存在最大值，記為 M （a），則當 a≤e+1 時，M （a） 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD上一點，AB=AD=3，AA1=2，CE=1，P是AA1上一點，且DP∥平面AEB1 ， F是棱DD1與平面BEP的交點，則DF的長為（ ）
A.1
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校高中生共有2700人，其中高一年級900人，高二年級1200人，高三年級600人，現(xiàn)采取分層抽樣法抽取容量為135的樣本，那么高一，高二，高三各年級抽取的人數(shù)分別為（ ）
A.45，75，15
B.45，45，45
C.30，90，15
D.45，60，30

查看答案和解析>>

同步練習冊答案