【題目】如圖,是拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于、兩點(diǎn),交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn),其中,.過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn),直線交拋物線于點(diǎn).
(1)求的值;
(2)求四邊形的面積的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為,將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的二次方程,利用韋達(dá)定理結(jié)合可求出正數(shù)的值;
(2)由直線與坐標(biāo)軸不垂直,所以設(shè)方程為,并設(shè)點(diǎn),將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,并求出,求出點(diǎn)的坐標(biāo),可得出點(diǎn)的坐標(biāo),并可得出直線的方程,將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)的坐標(biāo),并分別計(jì)算出點(diǎn)、到直線的距離、,利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的表達(dá)式,設(shè),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,即可得出的最小值.
(1)設(shè)方程為,與聯(lián)立,消去整理得,
所以,得(舍去)或;
(2)由(1)知拋物線方程為,,準(zhǔn)線方程為.
因?yàn)橹本與坐標(biāo)軸不垂直,所以設(shè)方程為,,
由得,,,
所以,
令,則,所以,,
直線的方程為,由得,
所以,,代入,得,所以.
到直線的距離為,到直線的距離為,
所以四邊形的面積,
令,則,令,則.
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),有最小值,
因此,四邊形的面積的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性.
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,若曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),是和的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若為橢圓的右頂點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的另一直線與橢圓交于、兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某國(guó)營(yíng)企業(yè)集團(tuán)公司現(xiàn)有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元.為了激化內(nèi)部活力,增強(qiáng)企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力,集團(tuán)公司董事會(huì)決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出()名員工從事第三產(chǎn)業(yè);調(diào)整后,他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元,剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高%.
(Ⅰ)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?
(Ⅱ)在(1)的條件下,若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過拋物線焦點(diǎn)且傾斜角的直線與拋物線交于點(diǎn)的面積為.
(I)求拋物線的方程;
(II)設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過作拋物線的切線,切點(diǎn)分別為直線與直線軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)是以為圓心為半徑的圓上任意兩點(diǎn),求最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,D是B1C1的中點(diǎn),A1A=A1B1=2.
(1)求證:AB1∥平面A1CD;
(2)若異面直線AB1和BC所成角為60°,求四棱錐A1﹣CDB1B的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)每年11月11日舉行“雙十一”購(gòu)物節(jié),當(dāng)天有多項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng),深受廣大消費(fèi)者喜愛
(1)已知該網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)近5年“雙十”購(gòu)物節(jié)當(dāng)天成交額如下表:
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
成交額(百億元) | 9 | 12 | 17 | 21 | 27 |
求成交額(百億元)與時(shí)間變量(記2015年為,2016年為,……依次類推)的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)2020年該平臺(tái)“雙十一”購(gòu)物節(jié)當(dāng)天的成交額(百億元);
(2)在2020年“雙十一”購(gòu)物節(jié)前,某同學(xué)的爸爸、媽媽計(jì)劃在該網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái).上分別參加、兩店各一個(gè)訂單的“秒殺”搶購(gòu),若該同學(xué)的爸爸、媽媽在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為、,記該同學(xué)的爸爸和媽媽搶購(gòu)到的訂單總數(shù)量為.
(i)求的分布列及;
(ii)已知每個(gè)訂單由件商品構(gòu)成,記該同學(xué)的爸爸和媽媽搶購(gòu)到的商品總數(shù)量為,假設(shè),,求取最大值時(shí)正整數(shù)的值.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),若不等式在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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