Question

【題目】設(shè)直線(xiàn)：（）與橢圓相交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，記為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）若，求的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合直線(xiàn)與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得到根的判別式大于，從而解決問(wèn)題；（2）設(shè)，，由（1）得，由，得從而求得的面積，最后利用基本不等式求得其最大值，及取得最大值時(shí)的值，從而即可求得的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程.

試題解析：（1）依題意，直線(xiàn)顯然不平行于坐標(biāo)軸，故可化為，

將代入，整理得，①

由直線(xiàn)與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得，

化簡(jiǎn)整理即得．（*）

（2），，由①，得，②

因?yàn)?/span>，，由，得，③

由②③聯(lián)立，解得，④

的面積 ，

上式取等號(hào)的條件是，即．

當(dāng)時(shí)，由④解得；當(dāng)時(shí)，由④解得．

將，及，這兩組值分別代入①，

均可解出，

經(jīng)驗(yàn)證，，滿(mǎn)足（*）式．

所以，的面積取得最大值時(shí)橢圓方程為．