Question

【題目】如圖,四面體中, 是正三角形, 是直角三角形, ,.

（1）證明:平面平面;

（2）過的平面交于點,若平面把四面體分成體積相等的兩部分,求二面角的大小。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）。

【解析】

（1）如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD．△ABC是等邊三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜邊，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明；

（2）由平面把四面體分成體積相等的兩部分,明確為中點, 易知二面角的平面角為.

（1）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD．

∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC．

△ABD與△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜邊，∴∠ADC=90°．

∴DO=AC．

∴DO2+BO2=AB2=BD2．

∴∠BOD=90°．

∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．

又OB平面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）∵平面把四面體分成體積相等的兩部分,

∴,∴.

∴即為中點,

由（1）知為直角三角形，則

又，

∴為等邊三角形，故 。

由（1）知則AE=CE,

所以,

又，

則二面角的平面角為，且二面角的大小為。