Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(1)=

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2

，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）定義數(shù)列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)y，總有f（y）＞2．證明：對(duì)于任意m，n∈N^*，若m＞n，則f（m•y）＞f（n•y）．

Answer 1

分析：（I）直接 令x=1，y=0，再結(jié)合f（1）=

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，即可求出f（0）的值；最后令x=0，即可得到函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）先令x=y=1，求出f（2），進(jìn)而求出a₁，再令x=n+1，y=1得到f（n+2）=

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f（n+1）-f（n），即可求出數(shù)列{a_n}相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，找到其規(guī)律即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）先利用y≠0時(shí)，f（y）＞2，得到f（x+y）-f（x）＞f（x）-f（x-y），即f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]，再對(duì)其一步步向前放縮即可證明結(jié)論．

解答：解：（I） 令x=1，y=0
∴f（1）•f（0）=f（1）+f（1）
∵f（1）=

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，
∴f（0）=2（1分）
令x=0，
∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即2f（y）=f（y）+f（-y）
∴f（y）=f（-y），對(duì)任意的實(shí)數(shù)y總成立．
∴f（x）為偶函數(shù)              （3分）
（II）令x=y=1，得 f（1）f（1）=f（2）+f（0）．
∴

25

4

=f（2）+2．
∴f（2）=

17

4

．
∴a₁=2f（2）-f（1）=

17

2

-

5

2

=6（4分）
令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．
∴f（n+2）=

5

2

f（n+1）-f（n）（5分）

∴an+1=2f(n+2)-f(n+1)=2[ 5 2 f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=4f(n+1)-2f(n)=2[f(n+1)-2f(n)=2an(n≥1).

∴{a_n}是以6為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=6•2^n-1=3•2ⁿ（7分）
（III）證明：設(shè)y≠0，∵y≠0時(shí)，f（y）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（x），即f（x+y）-f（x）＞f（x）-f（x-y）．
∴對(duì)于k∈N，總有f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]成立．
∴f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]＞f[（k-1）y]-f[（k-2）y]＞…＞f（y）-f（0）＞0
∴對(duì)于k∈N總有f[（k+1）y]＞f（ky）成立．（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列知識(shí)與函數(shù)知識(shí)的綜合問(wèn)題．解決第一問(wèn)的關(guān)鍵在于對(duì)賦值法的熟練應(yīng)用．