Question

【題目】已知圓：，圓：，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若是曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線交曲線

于另一點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)

【解析】分析：（1）根據(jù)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切可得點(diǎn)滿足，由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后可求得其方程．（2）由題意可設(shè)直線的方程為，將其代入橢圓方程消去y后可得二次方程，根據(jù)點(diǎn)共線及根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得，于是直線方程是，過定點(diǎn)．

詳解：（1）圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，

設(shè)動(dòng)圓半徑為，

∵圓與圓外切且與圓內(nèi)切，

∴ ，，

∴ ，

∴圓心的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓（左頂點(diǎn)除外），設(shè)其方程為．

由題意得，

∴，

∴曲線C的方程為．

（2）由題意知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于A,E兩點(diǎn)，

∴，

整理得①，

設(shè)，，則，

且，，

∵點(diǎn)共線，

∴，即，

整理得，

∴ ，

整理得，滿足判別式①．

∴直線方程是，

∴直線過定點(diǎn)．