Question

已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(-3

2

，4)，它的漸近線(xiàn)方程為y=±

4

3

x
（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁和F₂是該雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且|PF₁|•|PF₂|=55，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為y=±

4

3

x，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

9

-

y2

16

=m（m≠0），代入點(diǎn)P的坐標(biāo)算出m=1，即可得到雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，算出a=3、b=4且c=5，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義算出||PF₁|-|PF₂||=2a=6，再由△F₁PF₂中|F₁F₂|=10且|PF₁|•|PF₂|=55，利用余弦定理加以計(jì)算即可得出∠F₁PF₂的余弦值．

解答：解：（1）∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±

4

3

x
∴設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為（y+

4

3

x）（y-

4

3

x）=m（m≠0），即

x2

9

-

y2

16

=m，
又∵P(-3

2

，4)在該雙曲線(xiàn)上，
∴將P的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，得

(-3 2 )2

9

-

42

16

=m，解得m=1，
因此，所求雙曲線(xiàn)方程為

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）∵雙曲線(xiàn)方程為

x2

9

-

y2

16

=1，∴a=3、b=4，可得c=

a2+b2

=5．
根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，可得||PF₁|-|PF₂||=2a=6，
∵|F₁F₂|=2c=10，|PF₁|•|PF₂|=55，
∴在△F₁PF₂中，根據(jù)余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
可得100=36+2×55-2×55cos∠F₁PF₂，即110cos∠F₁PF₂=46，
∴cos∠F₁PF₂=

46

110

=

23

55

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，在雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的情況下求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并依此求∠F₁PF₂的余弦值．著重考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．