【題目】一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個(gè)球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球的概率是 .
(Ⅰ)若袋中共有10個(gè)球,
(i)求白球的個(gè)數(shù);
(ii)從袋中任意摸出3個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.
(Ⅱ)求證:從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)黑球的概率不大于 . 并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少.
【答案】解:(Ⅰ)(i)記“從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球”為事件A,
設(shè)袋中白球個(gè)數(shù)為x,則P(A)=1﹣=,
解得x=5,∴白球個(gè)數(shù)是5個(gè).
(ii)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)===,
P(ξ=1)===,
P(ξ=2)===
P(ξ=3)===,
∴ξ的分布列為:
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
Eξ=x0+x2+x3=.
證明:(Ⅱ)設(shè)袋中有n個(gè)球,其中y個(gè)黑球,
由題意,得y=n,
∴2y<n,2y≤n﹣1,
∴,
記“從袋中任意取出兩個(gè)球,至少有1個(gè)黑球”為事件B,
則P(B)=,
∴白球的個(gè)數(shù)比黑球多,白球個(gè)數(shù)多于n,黑球個(gè)數(shù)少于n,
故袋中紅球個(gè)數(shù)最少.
【解析】(Ⅰ)設(shè)袋中白球個(gè)數(shù)為x,由對(duì)立事件概率計(jì)算公式得:1﹣= , 由此能求出白球個(gè)數(shù).
(ii)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ
(Ⅱ)設(shè)袋中有n個(gè)球,其中y個(gè)黑球,由題意,得y=n,從而2y<n,2y≤n﹣1,進(jìn)而 , 由此能證明從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)黑球的概率不大于 . 并得到袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少。
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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.問:在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出E點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求B點(diǎn)在AM上,D點(diǎn)在AN上,且對(duì)角線MN過點(diǎn)C,已知AB=2米,AD=1米.
(1)要使矩形AMPN的面積大于9平方米,則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(2)當(dāng)DN的長度為多少時(shí),矩形花壇AMPN的面積最小?并求出最小值.
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【題目】已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2,過點(diǎn)P(2,-1)作圓C的切線,切點(diǎn)為A,B.
(1)求直線PA,PB的方程;
(2)求過P點(diǎn)的圓C的切線長.
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【題目】設(shè) , 是兩個(gè)非零向量,則下列哪個(gè)描述是正確的( )
A.若|+|=||﹣||,則⊥
B.若⊥ , 則|+|=||﹣||
C.若|+|=||﹣||,則存在實(shí)數(shù)λ使得=
D.若存在實(shí)數(shù)λ使得= , 則|+|=||﹣||
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【題目】以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,已知曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=.
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)過極點(diǎn)O作直線l交曲線于點(diǎn)P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直線l的極坐標(biāo)方程.
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【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′,設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M(x,y),求x+2y的最小值.
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【題目】分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn).若為等邊三角形,則的面積為( )
A. 8 B. C. D. 16
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