Question

【題目】已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線．

（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點， ，且，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）證明過程見解析；

【解析】（Ⅰ）首先根據(jù)兩函數(shù)在某點處有相同的切線，建立關(guān)于兩函數(shù)解析式中參數(shù)的方程，求得兩函數(shù)的解析式，再由題意構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性與最值問題進行求解；（Ⅱ）由題意，可將問題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的兩個根，再根據(jù)其函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式立.

試題解析：（Ⅰ）因為， ，根據(jù)題意，得解得

所以．　

設(shè)，則，

當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

所以，

又因為→時， →；當(dāng)→時， →，

故欲使兩圖象有兩個交點，只需， ，

所以實數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，函數(shù)，其定義域為，

，

令，得，其判別式，

函數(shù)有兩個極值點， ，等價于方程在內(nèi)有兩不等實根，又，故．

所以，且， ，

，

令， ，

則，

由于，∴，故在上單調(diào)遞減．

故．

所以，

所以．