已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上（與也不重合），且滿足，求的取值范圍.
（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用直線與圓相切列出距離公式，求出橢圓中的基本量，比較簡單；第二問，考查拋物線的定義，本問主要考查理解題意的能力；第三問，與向量相結(jié)合，再加上基本不等式求最值.
試題解析：（1）由直線與圓相切，得，即.
由，得，所以，所以橢圓的方程是. （4分）
（2）由條件，知，即動點到定點的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點的軌跡的方程是.（6分）
（3）由（2）知，設(shè)，
∴
由，得，
∵，∴，
∴，當且僅當，即時等號成立.
又，
∵，∴當，即時，.
故的取值范圍是.(12分)
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在以雙曲線C的實軸長為直徑的圓上，求m的值.

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已知定點F(2,0)和定直線，動圓P過定點F與定直線相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程.
（2）若以M(2,3)為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點，且線段AB是此圓的直徑時，求直線AB的方程

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如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點，平行于的直線在y軸的截距為，且交橢圓與兩點，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線、與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓，圓，動圓與已知兩圓都外切.
（1）求動圓的圓心的軌跡的方程；
（2）直線與點的軌跡交于不同的兩點、，的中垂線與軸交于點，求點的縱坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點是橢圓：上一點，分別為的左右焦點，，的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線（p＞0）的焦點F恰好是雙曲線的右焦點,且兩條曲線的交點的連線過F,則該雙曲線的離心率為(     )  
A．B．2C．+1D．-1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點是橢圓（）的左焦點，點，分別是橢圓的左頂點和上頂點，橢圓的離心率為，點在軸上，且，過點作斜率為的直線與由三點,，確定的圓相交于，兩點，滿足．

（1）若的面積為，求橢圓的方程；
（2）直線的斜率是否為定值？證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

雙曲線的左、右焦點分別為和，左、右頂點分別為和，過焦點與軸垂直的直線和雙曲線的一個交點為，若是和的等差中項，則該雙曲線的離心率為              .

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