Question

【題目】已知函數(shù)．　

（Ⅰ）若，證明：函數(shù)是上的減函數(shù)；

（Ⅱ）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（Ⅲ）若，證明： （其中…是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意二次求導(dǎo)可得，函數(shù)是上的減函數(shù).

(2)利用題意由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線得到關(guān)于a的方程，解方程可得.

(3)原不等式等價于，結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，令，可證得．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)的定義域是，所以，

令，只需證： 時， ．

又，

故在上為減函數(shù)，

所以，

所以，函數(shù)是上的減函數(shù)．

（Ⅱ）由題意知， ，且，

所以，即有，

令， ，

則，

故是上的增函數(shù)，又，因此是的唯一零點，

即方程有唯一實根，所以．

（Ⅲ）因為 ，

故原不等式等價于，

由（Ⅰ）知，當(dāng)時， 是上的減函數(shù)，

故要證原不等式成立，只需證明：當(dāng)時， ，

令，則， 在上的增函數(shù)，

所以，即，故，

即．