Question

（05年浙江卷理）（14分）

設點(，0)，和拋物線：y＝x²＋a_n x＋b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到： x₁＝1，點P₂(x₂，2)在拋物線C₁：y＝x²＋a₁x＋b₁上，點A₁(x₁，0)到P₂的距離是A₁到C₁上點的最短距離，…，點在拋物線：y＝x²＋a_n x＋b_n上，點(，0)到的距離是 到 上點的最短距離．

   (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

   (Ⅱ)證明{}是等差數(shù)列．

Answer 1

解析：(Ⅰ)由題意,得A(1,0),C₁：y=x²-7x+b₁.

設點P(x,y)是C₁上任意一點,則|A₁P|=

令f(x)=(x-1)²+(x²-7x+b₁)²,則由題意得,,

即又P₂(x₂,0)在C₁上,∴2=x₂² -7x₂+b₁

解得x₂=3,b₁=14.故C₁方程為y=x²-7x+14.

(Ⅱ)設P(x,y)是C₁上任意一點,則|AnP|=

令g(x)=(x-x_n)²+(x²+a_nx+bn)²,則,由題意得,,

即=0,

又∵,∴(x_n+1-x_n)+2ⁿ(2x_n+1+a_n)=0(n≥1),

即(1+2ⁿ⁺¹)x_n+1-x_n+2ⁿa_n=0,   (*)

下面用數(shù)學歸納法證明x_n=2n-1.

①     當n=1時,x₁=1,等式成立.

②     假設當n=k時,等式成立,即x_k=2k-1.

則當n=k+1時,由(*)知(1+2^k+1)x_k+1-x_k+2^ka_k=0,   (*)

又a_k=-2-4k-,∴.

即當n=k+1,時等式成立.

由①②知,等式對n∈N⁺成立,∴{x_n}是等差數(shù)列.