Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點(diǎn)重合），且DE=DG，過D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F． （Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵DF⊥CE， ∴Rt△DFC∽R(shí)t△EDC，
∴ ，
∵DE=DG，CD=BC，
∴ ，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）∵E為AD中點(diǎn)，AB=1，∴DG=CG=DE= ，
∴在Rt△DFC中，GF= CD=GC，連接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S四邊形BCGF=2S△BCG=2× ×1× = ．

【解析】（Ⅰ）證明B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓可證明四邊形BCGF對(duì)角互補(bǔ)，由已知條件可知∠BCD=90°，因此問題可轉(zhuǎn)化為證明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，則S四邊形BCGF=2S△BCG ， 據(jù)此解答．