Question

已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）和B（3，2），且圓心C在直線(xiàn)y=x上．
（Ⅰ） 求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)y=2x+m被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C（a，a），再由圓C經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（3，2）兩點(diǎn)，可得|CA|²=|CB|²，即可求得圓心坐標(biāo)和半徑，從而求得圓C的方程．
（Ⅱ）通過(guò)圓心距、半徑、半弦長(zhǎng)滿(mǎn)足的勾股定理，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：（Ⅰ）由于圓心在直線(xiàn)y=x上，故可設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C（a，a）． 再由圓C經(jīng)過(guò)A（0，3）、B（3，2）兩點(diǎn)，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-0）²+（a-3）²=（a-3）²+（a-2）²．
解得 a=1，故圓心C（1，1），半徑r=

(a-3)2+(a-2)2

=

5

，
故圓C的方程為 （x-1）²+（y-1）²=5，
（Ⅱ）圓心C（1，1），半徑r=

(a-3)2+(a-2)2

=

5

，
圓心到直線(xiàn)y=2x+m的距離為：

|2-1+m|

5

=

|1+m|

5

直線(xiàn)被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4，所以半弦長(zhǎng)為：2；
所以（

5

）²=2²+（

|1+m|

5

）²，
所以實(shí)數(shù)m的值為-1±

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．