【題目】（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點(diǎn)和，動點(diǎn)M滿足，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C，半拋物線：（），設(shè)點(diǎn)．

（Ⅰ）求C的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)T處的切線與曲線C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求△ABD的面積的最大值及點(diǎn)T的坐標(biāo)．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則可得向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積公式可求得點(diǎn)的軌跡的軌跡方程．（Ⅱ）拋物線為，設(shè)（），對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)處的切線的斜率，從而可得切線方程．將切線方程和曲線方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程．可知其判別式大于0，由韋達(dá)定理可得兩根之和，兩根之積．根據(jù)弦長公式可求得弦由點(diǎn)到線的距離公式可求得三角形的高，從而可得三角形面積．配方法可求得其最值及取最值時的值．

試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由，得，

所以的軌跡方程是；（4分）

（Ⅱ）拋物線為，設(shè)（），則，所以切線為：

，即，聯(lián)立，，

判別式△，設(shè)，，則，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，于是，得，則，

故△ABD的面積，此時．（12分）

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列中，滿足記為前n項(xiàng)和．

（I）證明： ；

（Ⅱ）證明：

（Ⅲ）證明： .

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【題目】一鮮花店根據(jù)一個月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計如下，將日銷售量落入各組區(qū)間頻率視為概率．

日銷售量（枝）

銷售天數(shù)

3天

5天

13天

6天

3天

（1）試求這30天中日銷售量低于100枝的概率；

（2）若此花店在日銷售量低于100枝的時候選擇2天作促銷活動，求這2天恰好是在日銷售量低于50枝時的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ， 分別是的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求直線和平面所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（I）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）是否存在常數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知、分別是橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)，當(dāng)軸時， .

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形（點(diǎn)在第一象限），求直線與的斜率之積；

（3）記圓為橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”. 若，過點(diǎn)作橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線，切點(diǎn)為、，直線的橫、縱截距分別為、，求證： 為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）的圖象與函數(shù)的圖象總相切于一個定點(diǎn).

① 求與的值；

② 對上的任意實(shí)數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為 1， 為的中點(diǎn)， 為線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為.則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號)．

①當(dāng)時， 為四邊形；②當(dāng)時， 為等腰梯形；③當(dāng)時， 為六邊形；④當(dāng)時， 的面積為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過變換后得曲線.

（1）求的方程；

（2）若為曲線上兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為且，求直線被圓截得弦長的最大值及此時直線的方程.

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