Question

已知等腰梯形PDCB中（如圖1），PB=3，DC=1，PB=BC=2a=|

QP

|+|

QP′

|=

( 5 2 -2)2+( 3 2 )2

+

( 5 2 +2)2+( 3 2 )2

=2

10

，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如圖2）
（I）證明：平面PAD⊥PCD；
（II）試在棱PB上確定一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA：V_MACB=2：1；
（III）在M滿足（Ⅱ）的情況下，判斷直線AM是否平行面PCD．

Answer 1

分析：（I）由已知中CD⊥AD及面PAD⊥面ABCD，我們根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到CD⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥PCD；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，平面PAB⊥平面ABCD，在PB上取一點M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，利用體積公式，分別計算V_PDCMA，V_MACB，再根據(jù)V_PDCMA：V_MACB=2：1，即可求出滿足條件的M為PB的中點；
（III）以A為原點，AD、AB、AP所在直線為x，y，z軸，建立如如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)頂點的坐標(biāo)，進而求出直線AM的方向向量及平面PCD的法向量，判定兩個向量是否垂直，即可判斷直線AM是否平行面PCD．

解答：解：（I）證明：依題意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD．（2分）
∴平面PAD⊥PCD；
（II）由（I）知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．（4分）
在PB上取一點M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
設(shè)MN=h
則VM-ABC=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×

1

2

×2×1×h=

h

3

VP-ABCD=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

(1+2)

2

×1×1=

1

2

（6分）
要使VPDCMA：VMACB=2：1，即(

1

2

-

h

3

)：

h

3

=2：1，解得h=

1

2

即M為PB的中點；
（III）以A為原點，AD、AB、AP所在直線為x，y，z軸，
建立如如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）
由（I）知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，則AQ⊥平面PDC，則

AQ

為平面PCD的法向量．（10分）
又∵△PAD為等腰Rt△∴Q為PD的中點，即Q(

1

2

，0，

1

2

)
因為

AQ

•

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)(0，1，

1

2

)=

1

4

≠0，所以

AQ

不垂直

AM

所以AM與平面PCD不平行．（13分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線、平面間平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．