定義在D={x∈R|x≠0}上的函數(shù)f(x)滿足兩個條件:①對于任意x、y∈D,都有f(x)f(y)-f(xy)=
x2+y2
xy
;②曲線y=f(x)存在與直線x+y+1=0平行的切線.
(Ⅰ)求過點(-1,
1
4
)的曲線y=f(x)的切線的一般式方程;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0,+∞),n∈N+時,求證:fn(x)-f(xn)≥2n-2.
(Ⅰ)令x=y=1得,f2(1)-f(1)=2,解得f(1)=-1或f(1)=2.
當(dāng)f(1)=-1時,令y=1得,f(x)=-
x2+1
2x
,即f(x)=-
1
2
(x+
1
x
),
f′(x)=-
1
2
(1-
1
x2
),
由f′(x)=-1得,x2=-1,此方程在D上無解,這說明曲線y=f(x)不存在與直線x+y+1=0平行的切線,不合題意,
則f(1)=2,此時,令y=1得,f(x)=
x2+1
x
=x+
1
x
,f′(x)=1-
1
x2
,
由f′(x)=-1得,x2=
1
2
,此方程在D上有解,符合題意.
設(shè)過點(-1,
1
4
)的切線切曲線y=f(x)于(x0,x0+
1
x0
),則切線的斜率為1-
1
x02
,
其方程為y-x0-
1
x0
=(1-
1
x02
)(x-x0),把點(-1,
1
4
)的坐標(biāo)代入整理得,
5x02-8x0-4=0,解得x0=-
2
5
或x0=2,
把x0=-
2
5
或x0=2分別代入上述方程得所求的切線方程是:y=-
21
4
x-5和y=
3
4
x+1,
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x+
1
x
,當(dāng)n∈N*時,
fn(x)-f(xn)=(x+
1
x
)
n
-(xn+
1
xn

=
C1n
xn-1
1
x
+
C2n
xn-2
1
x2
+…+
Cn-2n
x2
1
xn-2
+
Cn-1n
x•
1
xn-1

=
C1n
xn-2+
C2n
xn-4+…+
Cn-2n
1
xn-4
+
Cn-1n
1
xn-2
,
由x∈(0,+∞),n∈N*知,xn∈(0,+∞),那么
2(fn(x)-f(xn))=
C1n
xn-2+
C2n
xn-4+…+
Cn-2n
1
xn-4
+
Cn-1n
1
xn-2

+
Cn-1n
1
xn-2
+
Cn-2n
1
xn-4
+…+
C2n
xn-4+
C1n
xn-2
=
C1n
xn-2+
C2n
xn-4+…+
Cn-2n
1
xn-4
+
Cn-1n
1
xn-2

+
C1n
1
xn-2
+
C2n
1
xn-4
+…+
Cn-2n
xn-4+
Cn-1n
xn-2
=
C1n
(xn-2+
1
xn-2
)+
C2n
(xn-4+
1
xn-4
)+…+
Cn-1n
(xn-2+
1
xn-2

≥2
C1n
+2
C2n
+…+2
Cn-1n

=2(
C1n
+
C2n
+…+
Cn-1n

=2[(
C0n
+
C1n
+
C2n
+…+
Cn-1n
+
Cnn
)-
C0n
-
Cnn
)]
=2(2n-2)
所以fn(x)-f(xn)≥2n-2.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2-2
4+2b-b2
•x
,g(x)=-
1-(x-a)2
(a, b∈R)

(1)當(dāng)b=0時,若f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)求滿足下列條件的所有整數(shù)對(a,b):存在x0,使得f(x0)是f(x)的最大值,g(x0)是g(x)的最小值;
(3)對滿足(II)中的條件的整數(shù)對(a,b),試構(gòu)造一個定義在D=x|x∈R且x≠2k,k∈Z上的函數(shù)h(x),使h(x+2)=h(x),且當(dāng)x∈(-2,0)時,h(x)=f(x).

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x2+y2
xy
;②曲線y=f(x)存在與直線x+y+1=0平行的切線.
(Ⅰ)求過點(-1,
1
4
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(Ⅱ)當(dāng)x∈(0,+∞),n∈N+時,求證:fn(x)-f(xn)≥2n-2.

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定義在D={x∈R|x≠0}上的函數(shù)f(x)滿足兩個條件:①對于任意x、y∈D,都有f(x)f(y)-f(xy)=數(shù)學(xué)公式;②曲線y=f(x)存在與直線x+y+1=0平行的切線.
(Ⅰ)求過點(-1,數(shù)學(xué)公式)的曲線y=f(x)的切線的一般式方程;
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(Ⅰ)求過點(-1,)的曲線y=f(x)的切線的一般式方程;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0,+∞),n∈N+時,求證:fn(x)-f(xn)≥2n-2.

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