Question

定義在D={x∈R|x≠0}上的函數(shù)f（x）滿足兩個(gè)條件：①對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=

x2+y2

xy

；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點(diǎn)（-1，

1

4

）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞），n∈N⁺時(shí)，求證：f_n（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，從而可求得f（x）=x+

1

x

，設(shè)過點(diǎn)（-1，

1

4

）的切線切曲線y=f（x）于（x₀，x₀+

1

x0

），則切線的斜率為1-

1

x02

，于是可求得切線方程，將點(diǎn)（-1，

1

4

）的坐標(biāo)代入方程即可求得x₀，從而可得過點(diǎn)（-1，

1

4

）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+

1

x

，當(dāng)n∈N^*時(shí)，fⁿ（x）-f（xⁿ）=(x+

1

x

)n-（xⁿ+

1

xn

），利用二項(xiàng)式定理將(x+

1

x

)n展開，采用倒序相加法可求得2（fⁿ（x）-f（xⁿ）），再利用基本不等式即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=1得，f²（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
當(dāng)f（1）=-1時(shí)，令y=1得，f（x）=-

x2+1

2x

，即f（x）=-

1

2

（x+

1

x

），
f′（x）=-

1

2

（1-

1

x2

），
由f′（x）=-1得，x²=-1，此方程在D上無解，這說明曲線y=f（x）不存在與直線x+y+1=0平行的切線，不合題意，
則f（1）=2，此時(shí)，令y=1得，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，f′（x）=1-

1

x2

，
由f′（x）=-1得，x²=

1

2

，此方程在D上有解，符合題意．
設(shè)過點(diǎn)（-1，

1

4

）的切線切曲線y=f（x）于（x₀，x₀+

1

x0

），則切線的斜率為1-

1

x02

，
其方程為y-x₀-

1

x0

=（1-

1

x02

）（x-x₀），把點(diǎn)（-1，

1

4

）的坐標(biāo)代入整理得，
5x02-8x₀-4=0，解得x₀=-

2

5

或x₀=2，
把x₀=-

2

5

或x₀=2分別代入上述方程得所求的切線方程是：y=-

21

4

x-5和y=

3

4

x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+

1

x

，當(dāng)n∈N^*時(shí)，
fⁿ（x）-f（xⁿ）=(x+

1

x

)n-（xⁿ+

1

xn

）
=

C

1 n

x^n-1•

1

x

+

C

2 n

x^n-2•

1

x2

+…+

C

n-2 n

x²•

1

xn-2

+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

=

C

1 n

x^n-2+

C

2 n

x^n-4+…+

C

n-2 n

1

xn-4

+

C

n-1 n

1

xn-2

，
由x∈（0，+∞），n∈N^*知，xⁿ∈（0，+∞），那么
2（fⁿ（x）-f（xⁿ））=

C

1 n

x^n-2+

C

2 n

x^n-4+…+

C

n-2 n

1

xn-4

+

C

n-1 n

1

xn-2

+

C

n-1 n

1

xn-2

+

C

n-2 n

1

xn-4

+…+

C

2 n

x^n-4+

C

1 n

x^n-2
=

C

1 n

x^n-2+

C

2 n

x^n-4+…+

C

n-2 n

1

xn-4

+

C

n-1 n

1

xn-2

+

C

1 n

1

xn-2

+

C

2 n

1

xn-4

+…+

C

n-2 n

x^n-4+

C

n-1 n

x^n-2
=

C

1 n

（x^n-2+

1

xn-2

）+

C

2 n

（x^n-4+

1

xn-4

）+…+

C

n-1 n

（x^n-2+

1

xn-2

）
≥2

C

1 n

+2

C

2 n

+…+2

C

n-1 n

）
=2（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

）
=2[（

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

）-

C

0 n

-

C

n n

）]
=2（2ⁿ-2）
所以fⁿ（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查不等式的證明，突出二項(xiàng)式定理及倒序相加法與基本不等式的綜合運(yùn)用，屬于難題．