已知橢圓C：M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
5
，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為16
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內部是否存在整點Q（平面內橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），使得△OPQ的面積S△OPQ=4？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．
分析：（I）利用橢圓的離心率e=
3
5
，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為16，求出幾何量，即可得到橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用S△OPQ=4，可得點Q在與直線OP平行且距離為2
2
的直線l上，確定直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的半焦距為c，由題意可知道：
2a+2c=16
c
a
=
3
5
，解得
a=5
c=3
…（3分）
又因為a2=b2+c2，所以b=
a2-c2=4

所以橢圓的方程為
x2
25
+
y2
16
=1…（6分）
（Ⅱ）依題意|OP|=2
2
，直線OP的方程為y=x，…（7分）
因為S△OPQ=4，所以Q到直線OP的距離為2
2
，…（8分）
所以點Q在與直線OP平行且距離為2
2
的直線l上，
設l：y=x+m，則
|m|
2
=2
2
，解得m=±4  …（10分）
當m=4時，由
y=x+4
x2
25
+
y2
16
＜1
，
消元得41x2+200x＜0，即-
200
41
＜x＜0 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相應的y也是整數(shù)，此時滿足條件的點Q有4個．
當m=-4時，由對稱性，同理也得滿足條件的點Q有4個．…（13分）
綜上，存在滿足條件的點Q，這樣的點有8個．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點和右焦點分別為A，F(xiàn)，右準線為直線m，圓D：x2+y2-6y-4=0．
（1）若點A在圓D上，且橢圓C的離心率為
3
2
，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓C的離心率的取值范圍；
（3）若點P在（1）中的橢圓C上，且過點P可作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓x2+
y2
2
=1有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點F1、F2與短軸一端點的連線互相垂直，M為橢圓上任一點，且△MF1F2的面積最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設圓A：x2+y2=
2
3
的切線l與橢圓C交于P、Q兩點，求以坐標原點O及P、Q三點為頂點的△OPQ的外接圓面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•茂名二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），一條直線λx-y-2λ=0（λ∈R）．所經過的定點恰好是橢圓的一個定點，且橢圓的離心率為
1
2

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知圓O：x2+y2=r2（b＜r＜a），若另一條直線與橢圓C只有一個公共點M，且直線與圓O相切于點N，求|MN|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為KPM、KPN，當KPM•KPN=-
1
4
時，則橢圓方程為（　�。�

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