如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側面PAB是等邊三角形，且側面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：面PAD⊥面PAB．
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的大小．
（1）證明：∵側面PAB⊥底面ABCD，
且側面PAB與底面ABCD的交線是AB，
∴在矩形ABCD中，BC⊥側面PAB，
在矩形ABCD中，AD∥BC，BC⊥側面PAB，
∴AD⊥側面PAB，
又AD?平面PAD，∴側面PAD⊥側面PAB．
（2）取AB中點O，取CD中點E，以OB為x軸，以OE為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側面PAB是等邊三角形，
∴P（0，0，
3
），C（1，3，0），D（-1，3，0），
∴
PC
=（1，3，-
3
），
PD
=(-1，3，-
3
），
設平面PCD的法向量
m
=（x，y，z），則
m
•
PC
=0，
m
•
PD
=0，
∴
x+3y-
3
z=0
-x+3y-
3
z=0
，解得
m
=（0，
3
，3），
∵平面CDA的法向量
n
=（0，0，1），
∴二面角P-CD-A的平面角的余弦值為|cos＜
m
，
n
＞|=|
3
12
|=
3
2
，
∴二面角P-CD-A的平面角為
π
3
．
練習冊系列答案
相關習題

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如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點．
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（2）求證：EF⊥B1C；
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19
，AB=8，BC=6，點E是PC的中點，F(xiàn)在AD上且AF：FD=1：2．建立適當坐標系．
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如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點．
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（3）證明平面EFG⊥平面PAD，并求點D到平面EFG的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點P為平行四邊形ABCD外一點，且PD⊥平面ABCD，M為PC中點．
（1）求證：AP∥平面MBD；
（2）若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直底面，AC⊥BC，D是棱AA1的中點，AA1=2AC=2BC=2a（a＞0）．
（1）證明：C1D⊥平面BDC；
（2）求三棱錐C-BC1D的體積．

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