【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn);
(2)若,恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),極值點(diǎn)為;當(dāng)且時(shí),極值點(diǎn)為和;(2).
【解析】
(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論、、且即可求出函數(shù)的極值點(diǎn);
(2)由題意可將,恒成立轉(zhuǎn)化為時(shí),恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),分,與兩種情況討論,分別用導(dǎo)數(shù)的方法研究其在上的單調(diào)性和值域,即可篩選出符合題意的的取值范圍.
(1),
當(dāng)時(shí),,故無極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),極值點(diǎn)為;
當(dāng)且時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),分別為和.
(2),依題意,當(dāng)時(shí),,
即當(dāng)時(shí),.
設(shè),則.
設(shè),則.
①當(dāng)時(shí),,,從而(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立),
在上單調(diào)遞增.
又,當(dāng)時(shí),,從而當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞減,又,
從而當(dāng)時(shí),,即,
于是當(dāng)時(shí),.
②當(dāng)時(shí),令,得,.
故當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞減.
又,當(dāng)時(shí),,從而當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞增,又,
從而當(dāng)時(shí),,即,
于是當(dāng)時(shí),,不符合題意.
綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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【題目】試求所有的正數(shù) ,使得在雙曲線的右支上總存在焦點(diǎn)弦,它關(guān)于原點(diǎn)的張角為直角。
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【題目】下列說法正確的是( )
A.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)a后,方差也變?yōu)樵瓉淼?/span>a倍
B.設(shè)有一個(gè)回歸方程,變量x增加1個(gè)單位時(shí),y平均減少5個(gè)單位
C.線性相關(guān)系數(shù)r越大,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);反之,線性相關(guān)性越弱
D.在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),則P(ξ>1)=0.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn),若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形,則橢圓的離心率為( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,我國工業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速,工業(yè)增加值連年攀升,某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近十年(從2008年到2017年)的工業(yè)增加值(萬億元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工業(yè)增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依據(jù)表格數(shù)據(jù),得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖和表中數(shù)據(jù),此研究機(jī)構(gòu)對(duì)工業(yè)增加值(萬億元)與年份序號(hào)的回歸方程類型進(jìn)行了擬合實(shí)驗(yàn),研究人員甲采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員乙采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員丙采用線性函數(shù),請(qǐng)計(jì)算其擬合指數(shù),并用數(shù)據(jù)說明哪位研究人員的函數(shù)類型擬合效果最好.(注:相關(guān)系數(shù)與擬合指數(shù)滿足關(guān)系).
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及統(tǒng)計(jì)值,建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(3)預(yù)測到哪一年的工業(yè)增加值能突破30萬億元大關(guān).
附:樣本 的相關(guān)系數(shù),
,,.
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【題目】某課題小組共10人,已知該小組外出參加交流活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3, 4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).
(1)記“選出2人外出參加交流活動(dòng)次數(shù)之和為4”為事件A,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè)X為選出2人參加交流活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知橢圓的離心率為,分別為的左、右頂點(diǎn),是上異于的動(dòng)點(diǎn),面積的最大值為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線與直線的斜率乘積為定值;
(3)設(shè)直線,分別交直線于兩點(diǎn),以為直徑作圓,當(dāng)圓的面積最小時(shí),求該圓的方程.
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【題目】某班級(jí)的全體學(xué)生平均分成個(gè)小組,且每個(gè)小組均有名男生和多名女生.現(xiàn)從各個(gè)小組中隨機(jī)抽取一名同學(xué)參加社區(qū)服務(wù)活動(dòng),若抽取的名學(xué)生中至少有一名男生的概率為,則( )
A.該班級(jí)共有名學(xué)生
B.第一小組的男生甲被抽去參加社區(qū)服務(wù)的概率為
C.抽取的名學(xué)生中男女生數(shù)量相同的概率是
D.設(shè)抽取的名學(xué)生中女生數(shù)量為,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)系方程和直線的普通方程;
(2)點(diǎn)在曲線上,且到直線的距離為,求符合條件的點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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