Question

【題目】已知函數(shù).

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)來利用，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這里注意對的討論；（2）要讓恒成立，應(yīng)猜想函數(shù)在上單調(diào)遞增或遞減，而或恒成立；所以下面要做的是看，或恒成立，然后再看在上單調(diào)性.

試題解析：（1），則．

當(dāng)時(shí)，對，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，

此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）易知當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)．

先分析證明：．

要證，只需證，即證，

構(gòu)造函數(shù)，則，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則成立．

當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，則在上恒成立；

當(dāng)是地，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

故當(dāng)時(shí)，，所以，則不滿足題意．

所以滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍是