Question

如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，現(xiàn)將沿邊折至位置，且平面平面.

(1) 求證：平面平面；

(2) 求二面角的大小.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1) 利用直角三角形，先證明折前有,折后這個(gè)垂直關(guān)系沒(méi)有改變，然后由平面平面的性質(zhì)證明平面,最后由面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）為方便計(jì)算，不妨設(shè)，先以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，以與平面向上的法向量同方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)給相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，接著計(jì)算出這兩個(gè)法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角的圖形與計(jì)算出的余弦值，確定二面角的大小即可.

試題解析：(1) 證明:由題可知：折前

，這個(gè)垂直關(guān)系，折后沒(méi)有改變

故折后有

（2）不妨設(shè)，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，以與平面向上的法向量同方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系 7分

則

設(shè)平面和平面的法向量分別為，

由及可得到即，不妨取

又由及可得到即

不妨取 9分

11分

綜上所述，二面角大小為 12分.

考點(diǎn)：1.線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明；2. 線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)；3.空間向量在解決空間角中的運(yùn)用問(wèn)題.