已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±
3
3
x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=
3
3
x及x軸圍成的三角形的周長是
3
2
(1+
3
)
.以C1的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2
(1)求C2的方程;
(2)已知斜率為
1
2
的直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(m,0)(m>0)并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于橢圓C2上任意一點(diǎn)M,都存在θ∈[0,2π],使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立.求實數(shù)m的值.
(1)由題意知雙曲線C1的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)C1的方程為:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

b
a
=
3
3
a2
a2+b2
(1+
3
3
)
+
1+(
3
3
)
2
a2
a2+b2
=
3
2
(1+
3
3
)

解得之:
a=
3
b=1
,
∴雙曲線的半焦距c=2,橢圓C2方程為:
x2
4
+y2=1
…(4分)
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y)及點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線AB的方程為:x-2y-m=0,
聯(lián)立方程組
x2
4
+y2=1
x=2y+m
消去x得8y2+4my+m2-4=0
…(6分)
判斷式△=16m2-32(m2-4)=16(8-m2)>0
又m>0∴0<m<2
2

y1y2=
(m2-4)
8
x1x2=(2y1+m)(2y2+m)

=4y1y2+2m(y1+y2)+m2
=
(m2-4)
2
+2m(-
m
2
)+m2=
(m2-4)
2
…(7分)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
,可得
x=x1cosB+x2sinθ
y=y1cosθ+y2sinθ
…(8分)
代入橢圓方程得4=x2+4y2=(x1cosθ+x2sinθ)2+4(y1cosθ+y2sinθ)2
=(x12+4y12)cos2θ+(x22+4y22)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+4y1y2
=4(cos2θ+sin2θ)+sin2θ•(x1x2+4y1y2
即得:sin2θ•(x1x2+4y1y2)=0…(10分)
又∵θ∈[0,2π]的任意性,知:
x1x2+4y1y2=
m2-4
2
+4×
m2-4
8
=m2-4=0

m∈(0,2
2
)

∴m=2,即滿足條件的實數(shù)m的值為2   …(12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•重慶模擬)已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是
2
+1

(I)求以C1的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓C2的方程;
(II)AB是橢圓C2的長為
2
的動弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積S的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±
3
3
x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=
3
3
x及x軸圍成的三角形的周長是
3
2
(1+
3
)
.以C1的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2
(1)求C2的方程;
(2)已知斜率為
1
2
的直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(m,0)(m>0)并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于橢圓C2上任意一點(diǎn)M,都存在θ∈[0,2π],使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立.求實數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C1的漸近線為y=±x且過點(diǎn)(,),直線l的方程為x-y+3=0,以雙曲線C1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C2,C2與l有公共點(diǎn),問公共點(diǎn)在何處時,C2的短軸長最短?并求出此時的橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江西省吉安市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是.以C1的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2
(1)求C2的方程;
(2)已知斜率為的直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(m,0)(m>0)并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于橢圓C2上任意一點(diǎn)M,都存在θ∈[0,2π],使得成立.求實數(shù)m的值.

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