Question

已知雙曲線C₁的漸近線方程是y=±

3

3

x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=

3

3

x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是

3

2

(1+

3

)．以C₁的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率為

1

2

的直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（m，0）（m＞0）并與橢圓C₂交于不同的兩點(diǎn)A、B，若對(duì)于橢圓C₂上任意一點(diǎn)M，都存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知雙曲線C₁的焦點(diǎn)在x軸上，先假設(shè)方程，結(jié)合漸近線y=

3

3

x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是

3

2

(1+

3

)，則可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 x=2y+m

消去x得8y2+4my+m2-4=0，由于交于不同的兩點(diǎn)，所以△＞0．
由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，可得

x=x1cosB+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

代入橢圓方程，可求實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：（1）由題意知雙曲線C₁的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)C₁的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)

b a = 3 3 a2 a2+b2 (1+ 3 3 )

+

1+( 3 3 )2

•

a2

a2+b2

=

3

2

(1+

3

3

)
解得之：

a= 3 b=1

，
∴雙曲線的半焦距c=2，橢圓C₂方程為：

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y）及點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為：x-2y-m=0，
聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 x=2y+m

消去x得8y2+4my+m2-4=0…（6分）
判斷式△=16m²-32（m²-4）=16（8-m²）＞0
又m＞0∴0＜m＜2

2

y1y2=

(m2-4)

8

x1x2=(2y1+m)(2y2+m)
=4y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=

(m2-4)

2

+2m(-

m

2

)+m2=

(m2-4)

2

…（7分）
由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，可得

x=x1cosB+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

…（8分）
代入橢圓方程得4=x²+4y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+4（y₁cosθ+y₂sinθ）²
=（x₁²+4y₁²）cos²θ+（x₂²+4y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
=4（cos²θ+sin²θ）+sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）
即得：sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）=0…（10分）
又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：
x1x2+4y1y2=

m2-4

2

+4×

m2-4

8

=m2-4=0
∵m∈(0，2

2

)
∴m=2，即滿足條件的實(shí)數(shù)m的值為2   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．