Question

已知函數(shù)y=log2

x

4

•log2

x

2

（2≤x≤4）
（1）當(dāng)x=4

2

3

時，求y的值．
（2）令t=log₂x，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)）x=4

2

3

時，log₂x=

4

3

，代入y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-2）•（log₂x-1）可得答案；
（2）若t=log₂x，（2≤x≤4），則1≤t≤2，代入y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-2）•（log₂x-1）可得y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）分析y=t²-3t+2的圖象形狀，結(jié)合1≤t≤2，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出函數(shù)的最值，進而得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）x=4

2

3

=2

4

3

時，log₂x=

4

3

∴y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-log₂4）•（log₂x-log₂2）
=（log₂x-2）•（log₂x-1）
=-

2

3

•

1

3

=-

2

9

（2）若t=log₂x，（2≤x≤4）
則1≤t≤2，
則y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-2）•（log₂x-1）
=（t-2）•（t-1）
=t²-3t+2（1≤t≤2）
（3）∵y=t²-3t+2的圖象是開口朝上，且以t=

3

2

為對稱軸的拋物線
又∵1≤t≤2
∴當(dāng)t=

3

2

時，ymin=-

1

4

當(dāng)t=1或2時，y_max=0
故函數(shù)的值域是[-

1

4

，0]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的值域，函數(shù)的值，熟練掌握換元法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．