Question

（2012•南充三模）已知M（-2，0），N（2，0）兩點，動點P在y軸上的射影為H，且使

PH

•

PH

與

PM

•

PN

分別是公比為2的等比數(shù)列的第三、四項．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知過點N的直線l交曲線C于x軸下方兩個不同的點A、B，設R為AB的中點，若過點R與定點Q（0，-2）的直線交x軸于點D（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用

PH

•

PH

與

PM

•

PN

分別是公比為2的等比數(shù)列的第三、四項．可求動點P的軌跡C的方程；
 （2）將直線方程與曲線方程聯(lián)立，從而可表達出直線RQ的方程，進而可求x₀的取值范圍．

解答：解：（1）M（-2，0），N（2，0），設動點P的坐標為（x，y），所以H（0，y），
所以

PH

=(-x，0)，

PM

=(-2-x，-y)，

PN

=(2-x，-y)

PH

•

PH

=x2，…（3分）

PM

•

PN

=-(4-x2)+y2…（5分），
由條件，得y²-x²=4，又因為是等比，所以x²≠0，
所以，所求動點的軌跡方程y²-x²=4（x≠0）．…（7分）
（2）設直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組得，

y=k(x-2) y2-x2=4

∴(1-

1

k2

)y2-

4

k

y-8=0．
∴y1+y2=

4k

k2-1

，y1•y2=-

8k2

k2-1

．
∴

4k k2-1 ＜0 - 8k2 k2-1 ＞0 △＞0

解得：

2

2

＜k＜1，…（10分）
R(

2k2

k2-1

，

2k

k2-1

)，kRQ=

k2+k-1

k2

，…（12分）
直線RQ的方程為y+2=

k2+k-1

k2

x，
∴x0=

2k2

k2+k-1

=

2

-( 1 k - 1 2 )2+ 5 4

，
∴2＜x0＜2+2

2

．…（15分）

點評：本題以數(shù)列為載體，考查向量知識的運用，考查軌跡的求法，考查直線與曲線的位置關系，關鍵是將直線與曲線聯(lián)立求解．