【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-lnx。
(Ⅰ)當a=時,判斷f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè)f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,求a的取值范圍。
【答案】(1)f(x)在0<x≤1上,函數(shù)為減函數(shù);在x>1上,函數(shù)為增函數(shù);(2)a≤4.
【解析】試題分析:(1)將條件帶入求導,得=x-,進而根據(jù)導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)令H(x)= f(x)-(x3+4x-lnx)= -x3+x2-4x=x(-x2+ax-4)所以要使f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,只需H(x)≤0,在定義域內(nèi)恒成立,即x(-x2+ax-4) ≤0在x>0上恒成立,進而轉(zhuǎn)化為-x2+ax-4≤0在x>0上恒成立,進而可得解.
試題解析:
(1)、當a=時,f(x)=x2-lnx, =x-
令導函數(shù)等于0,解得x=1或x=-1(舍),
所以當>0時,x>1,當<0,0<x<1
所以f(x)在0<x≤1上,函數(shù)為減函數(shù);在x>1上,函數(shù)為增函數(shù)。
(2)令H(x)= f(x)-(x3+4x-lnx)= -x3+x2-4x=x(-x2+ax-4)
所以要使f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,只需H(x)≤0,在定義域內(nèi)恒成立,
即x(-x2+ax-4) ≤0在x>0上恒成立。
由于x>0,所以只要-x2+ax-4≤0在x>0上恒成立
所以應(yīng)滿足△≤0或者,所以a≤4.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(3+x)﹣lg(3﹣x)
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)若f(a)=4,求f(﹣a)的值.
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【題目】(選修4-4 坐標系與參數(shù)方程) 以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)曲線C的參數(shù)方程為 (是參數(shù)),直線的極坐標方程為.
(1)求直線的直角坐標方程和曲線C的普通方程;
(2)設(shè)點P為曲線C上任意一點,求點P到直線的距離的最大值.
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【題目】某賓館有相同標準的床位100張,根據(jù)經(jīng)驗,當該賓館的床價(即每張床位每天的租金)不超過10元時,床位可以全部租出;當床位高于10元時,每提高1元,將有3張床位空閑. 為了獲得較好的效益,該賓館要給床位定一個合適的價格,條件是:①要方便結(jié)帳,床價應(yīng)為1元的整數(shù)倍;②該賓館每日的費用支出為575元,床位出租的收入必須高于支出,而且高得越多越好.若用x表示床價,用y表示該賓館一天出租床位的凈收入(即除去每日的費用支出后的收入):
(1)把y表示成x的函數(shù);
(2)試確定,該賓館將床價定為多少元時,既符合上面的兩個條件,又能使凈收入高?
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【題目】為考察高中生的性別與喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系,在某學校高中生中隨機抽取了250名學生,得到如圖的二維條形圖.
(1)根據(jù)二維條形圖,完成下表:
男 | 女 | 合計 | |
喜歡數(shù)學課程 | |||
不喜歡數(shù)學課程 | |||
合計 |
(2)對照如表,利用列聯(lián)表的獨立性檢驗估計,請問有多大把握認為“性別與喜歡數(shù)學有關(guān)系”?
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【題目】設(shè)函數(shù)y= 的定義域為A,函數(shù)y=lg(x﹣1)(x∈[2,11])的值域為B.
(1)求A和B
(2)求(CRA)∪B.
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【題目】某班學生進行了三次數(shù)學測試,第一次有8名學生得滿分,第二次有10名學生得滿分,第三次有12名學生得滿分,已知前兩次均為滿分的學生有5名,三次測試中至少有一次得滿分的學生有15名,若后兩次均為滿分的學生至少有名,則的值為( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB=AC,直線MN切☉O于點C,弦BD∥MN,AC與BD相交于點E.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)求證:BE=BC.
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