Question

正三棱錐S─ABC內接于球O，其底面邊長是2

3

，側棱長是4，則球O的體積是（　　）

• A、

  64 3 π

  3

• B、

  512 3 π

  27

• C、

  512 3 π

  3

• D、

  256 3 π

  27

Answer 1

分析：判斷球心的位置，利用已知條件求出球的半徑，即可求解球的體積．

解答：解：畫出正三棱錐S─ABC的圖形，由題意可知，球心O在正三棱錐的高上，
如圖，則OS=OA=OB=OC=R，
底面邊長是2

3

，∴GA=

2

3

×

3

2

×2

3

=2，
∵側棱長是4，
∴SG=

42-22

=2

3

．
在三角形OAG中，OA=

AG2+OG2

，
可得R²=（2

3

-R）²+2²，
解得R=

4 3

3

．
球O的體積是：

4

3

πR3=

4

3

π(

4 3

3

)3=

256 3 π

27

．
故選：D．

點評：本題考查球與多面體的關系，球的體積的求法，正確處理二者的關系是解題的關鍵，考查空間想象能力以及計算能力．