Question

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）在四邊形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4）點(diǎn)B在x軸上．BC∥AD，且對(duì)角線AC⊥BD．
（1）求點(diǎn)C的軌跡T的方程；
（2）若點(diǎn)P是直線y=2x一5上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作點(diǎn)C的軌跡T的兩切線PE、PF、E、F為切點(diǎn)．M為EF的中點(diǎn)．求證：PM∥Y軸或PM與y軸重合：
（3）在（2）的條件下，直線EF是否恒過(guò)一定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y）（x≠0，y≠0），則B（x，0），利用BC∥AD，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用

AC

⊥

BD

?

AC

•

BD

=0即可得出；
（2）對(duì)函數(shù)y=

1

4

x2求導(dǎo)可得切線的斜率，設(shè)切點(diǎn)(x0，

1

4

x

2 0

)，可得切線方程為y-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(x-x0)．設(shè)點(diǎn)P（t，2t-5），由于切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，可得2t-5-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(t-x0)．設(shè)點(diǎn)E(x1，

1

4

x

2 1

)，F(xiàn)(x2，

1

4

x

2 2

)．則x₁，x₂是方程x²-2tx+8t-20=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到結(jié)論；
（3）利用（2）可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出斜率，即可得到直線EF的方程，即可得到定點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y）（x≠0，y≠0），則B（x，0），
∴

AC

=(x，y)，

BD

=(-x，4)．
∵

AC

⊥

BD

，∴-x²+4y=0，即y=

1

4

x2(x≠0)．
∴點(diǎn)C的軌跡T是去掉頂點(diǎn)的拋物線．
（2）對(duì)函數(shù)y=

1

4

x2求導(dǎo)得，y′=

1

2

x．
設(shè)切點(diǎn)(x0，

1

4

x

2 0

)，則過(guò)該切點(diǎn)的切線的斜率為

1

2

x0．
∴切線方程為y-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(x-x0)．
設(shè)點(diǎn)P（t，2t-5），由于切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，∴2t-5-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(t-x0)．
化為

x

2 0

-2tx0+8t-20=0．
設(shè)點(diǎn)E(x1，

1

4

x

2 1

)，F(xiàn)(x2，

1

4

x

2 2

)．
則x₁，x₂是方程x²-2tx+8t-20=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=8t-20．
∴xM=

x1+x2

2

=t．
因此當(dāng)t=0時(shí)，直線PM與y軸重合；
當(dāng)t≠0時(shí)，直線PM與y軸平行．
（3）∵y_M=

1

2

(

1

4

x

2 1

+

1

4

x

2 2

)=

1

8

[(x1+x2)2-2x1x2]
=

1

8

[4t2-2(8t-20)]=

1

2

t2-2t+5．
∴點(diǎn)M(t，

1

2

t2-2t+5)．
又∵k_EF=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

1

4

(x1+x2)=

1

4

×2t=

1

2

t．
∴直線EF的方程為：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∴當(dāng)x=4，y=5時(shí)，方程（*）恒成立．
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)t，直線EF恒過(guò)定點(diǎn)（4，5）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、直線與拋物線相切問題、根與系數(shù)的關(guān)系、直線的點(diǎn)斜式及其直線過(guò)定點(diǎn)問題等是解題的關(guān)鍵．