Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接，當(dāng)直線的傾斜角發(fā)生變化時(shí)，直線與軸是否相交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由題意得， ，解得，（2）先根據(jù)直線的斜率不存在時(shí)，確定直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，再設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求直線的方程，并求時(shí)， .聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，為定值0.

試題解析：(1)由， ，得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即軸，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，

猜想：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也是，

下面證明：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，設(shè)， ， ，

聯(lián)立： ，

得， ，

直線的方程為，

當(dāng)時(shí)， ，

將， 代入得：

，

將， 代入上式得，

由此知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

所以，當(dāng)直線的傾斜角發(fā)生變化時(shí)，直線與軸相交于定點(diǎn).