Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)， ， 且.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，且對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】試題分析：（1）確定函數(shù)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；（2）分別表示出的值域，根據(jù)的值域應(yīng)為的值域的子集可得答案.

試題解析：（1），………………………………1分

當(dāng)時(shí)， ，則在上單調(diào)遞減.……………………2分

當(dāng)時(shí)， 得；由得.…………………………4分

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.………………5分

（2）∵對(duì)任意的，總存在，使，

∴對(duì)任意的，總存在，使，………………6分

設(shè)在上的值域?yàn)?/span>，函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，則.……7分

當(dāng)時(shí)， ，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，…………………………………………………………8分

，

①當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)，此時(shí)， 的值域?yàn)?/span>，

∵，又，∴，即.………………10分

②當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)，此時(shí)， 的值域?yàn)?/span>，∵，

∴，∴，

綜上可知的取值范圍是.…………………………12分