Question

【題目】已知橢圓的方程為，橢圓的離心率正好是雙曲線的離心率的倒數，橢圓的短軸長等于拋物線上一點到拋物線焦點的距離.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓的兩個交點為，兩點，已知圓：與軸的交點分別為，（點在軸的正半軸），且直線與圓相切，求的面積與的面積乘積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）12

【解析】

（1）根據題意分別寫出橢圓的離心率，短軸長，從而得到關于的方程組，解出的值，得到橢圓方程；（2）根據直線與圓相切，得到的關系，分別表示出點、到直線的距離，直線與橢圓聯立，得到，，從而表示出，然后表示出，代入的關系，利用基本不等式，求出最大值.

解：（1）雙曲線的離心率為

所以橢圓的離心率，

拋物線的準線為，

所以拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，

所以橢圓的短軸長為，則

設橢圓的焦距為，

所以得到，，解得，

因此，橢圓的方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在且斜率不為零，不妨設直線的方程為，

設點，，

由于直線與圓相切，則有，所以.

點到直線的距離為，

點到直線的距離為，

將直線的方程與橢圓的方程聯立，

消去并整理得.

由韋達定理可得，.

記的面積為，記的面積為，

由弦長公式可得

.

所以，

.

當且僅當時，即當時，等號成立.

因此，的最大值為12.