如圖，已知四棱錐E－ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝

（1）求證：平面EAB⊥平面ABCD
（2）求二面角A－EC－D的余弦值

（1）先證EO⊥平面ABCD即可得證  （2）

解析試題分析：（1）證明：取AB的中點O，連接EO，CO
△AEB為等腰直角三角形
∴EO⊥AB，EO＝1
又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，
，又
∵EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD
（2）以AB的中點O為坐標原點，OB所在直線為y軸，OE所在直線為z軸，如圖建系則
，，＝
（0，2，0）

設平面DCE的法向量為，則，即，解得：

同理求得平面EAC的一個法向量為
，所以二面角A－EC－D的余弦值為
考點：用空間向量求平面間的夾角 平面與平面垂直判定 二面角的平面角及求法
點評：本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了空間線面垂直、
面面垂直的判定與性質和利用空間向量的方法求面面所成角的知識，屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E為AB的中點，F(xiàn)為CC1的中點.

（1）證明：B F//平面E CD1
（2）求二面角D1—EC—D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,在長方體中,點在棱上.

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(2)若二面角的大小為,求點到面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB, PC的中點

(1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；    
（3）若ÐPDA＝45°，求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖：在多面體EF-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，△EAD為正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求證：BFAD；
（Ⅱ）求直線BD與平面BCF所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD ＝12 BC. 點E、F分別是棱PB、邊CD的中點.（1）求證：AB⊥面PAD； （2）求證：EF∥面PAD

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形ABCD中，，，且，E、F分別為線段CD、AB上的點，且．將梯形沿EF折起，使得平面平面BCEF，折后BD與平面ADEF所成角正切值為．

（Ⅰ）求證：平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF與平面ABD所成二面角（銳角）的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使且，得一簡單組合體如圖2示，已知分別為的中點．

圖1                                圖2
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）當多長時，平面與平面所成的銳二面角為？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖1，在Rt中，，.D、E分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，求與平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）當點在何處時，的長度最小，并求出最小值．

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