Question

【題目】正整數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積，若，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

(1)判斷下列數(shù)列是否是數(shù)列，并說明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56

(2)若數(shù)列是數(shù)列，且.求和；

(3)是否存在等差數(shù)列是數(shù)列？請闡述理由.

Answer 1

【答案】(1) ①是；②不是；理由見解析；（2）或；（3）存在.

【解析】

(1)根據(jù)新定義的數(shù)列，需要滿足，所以分別計(jì)算兩個(gè)數(shù)列的，，相比觀察得答案；

(2)由數(shù)列的定義可知，分別表示，由正整數(shù)數(shù)列可分別求得，即得，從而得答案；

(3) 假設(shè)存在這樣的等差數(shù)列是數(shù)列，且此數(shù)列是特殊的常數(shù)列，則至少三項(xiàng)，分別表示所以，所以a是2和3的公倍數(shù)，令，顯然該等差數(shù)列是Z數(shù)列，所以存在；此后類比推理，可到n項(xiàng).

(1) ①由題可知，此時(shí)有

	1	2	3	4
	2
	2
	1	1	2	8

該數(shù)列滿足，所以是數(shù)列；

②同理可得：

	1	2	3	4
	8
	8
	1	6		3360

該數(shù)列中，所以不是數(shù)列.

(2) 因?yàn)閿?shù)列是數(shù)列，

那么，則

又因?yàn)閿?shù)列是正整數(shù)數(shù)列，

若，則，

所以，則或

當(dāng)時(shí)，；同理當(dāng)時(shí)，

故或

(3) )假設(shè)：存在這樣的等差數(shù)列是數(shù)列，且此數(shù)列是特殊的常數(shù)列，則至少三項(xiàng)

所以，所以a是2和3的公倍數(shù)

令，顯然該等差數(shù)列是Z數(shù)列，所以存在；

同理，如果是四項(xiàng)，則需滿足每項(xiàng)是2，3，4的公倍數(shù)，如12，12，12，12

如此類推的有限等差數(shù)列，可以有無窮多個(gè)，且當(dāng)為n項(xiàng)時(shí)，則各項(xiàng)為的公倍數(shù)

故存在等差數(shù)列是數(shù)列.