【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，且它的焦距是短軸長的倍.

（1）求橢圓的方程.

（2）若，是橢圓上的兩個動點(diǎn)（，兩點(diǎn)不關(guān)于軸對稱），為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，問是否存在非零常數(shù)，使當(dāng)時，的面積為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）存在這樣的常數(shù)，此時.

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合和列方程組，解方程組求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線的方程為和兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡得到①.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長公式求得三角形的面積的表達(dá)式，結(jié)合①解得和的值.

解：（1）因?yàn)闄E圓：過點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)樵摍E圓的焦距是短軸長的倍，所以，從而.

聯(lián)立方程組，解得，所以.

（2）設(shè)存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，則由知，，所以.①

聯(lián)立方程組，消去得.

所以，

點(diǎn)到直線的距離，

的面積.④

將②③代入①得，

化簡得，⑤

將⑤代入④得

，

要使上式為定值，只需，

即需，從而，此時，，

所以存在這樣的常數(shù)，此時.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年的政府工作報告強(qiáng)調(diào)，要樹立綠水青山就是金山銀山理念，以前所未有的決心和力度加強(qiáng)生態(tài)環(huán)境保護(hù).某地科技園積極檢查督導(dǎo)園區(qū)內(nèi)企業(yè)的環(huán)保落實(shí)情況，并計劃采取激勵措施引導(dǎo)企業(yè)主動落實(shí)環(huán)保措施，下圖給出的是甲、乙兩企業(yè)2012年至2017年在環(huán)保方面投入金額（單位：萬元）的柱狀圖.

（Ⅰ）分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年在環(huán)保方面投入金額的平均數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）

（Ⅱ）園區(qū)管委會為盡快落實(shí)環(huán)保措施，計劃對企業(yè)進(jìn)行一定的獎勵，提出了如下方案：若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額不超過200萬元，則該年不獎勵；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過200萬元，不超過300萬元，則該年獎勵20萬元；若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過300萬元，則該年獎勵50萬元.

（ⅰ）分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年獲得的獎勵之和；

（ⅱ）現(xiàn)從甲企業(yè)這六年中任取兩年對其環(huán)保情況作進(jìn)一步調(diào)查，求這兩年獲得的獎勵之和不低于70萬元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，為左焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，若，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在過點(diǎn)的直線，與和交點(diǎn)分別是和，使得？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線L: y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A、B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），

（1）若直線L過拋物線焦點(diǎn)，求線段 |AB|的長度；

（2）若OA⊥OB ，求m的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求使方程存在兩個實(shí)數(shù)解時，的取值范圍；

（2）設(shè)，函數(shù)，.若對任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結(jié)論

①AC⊥BD；

②△ACD是等邊三角形；

③AB與平面BCD成60°的角；

④AB與CD所成的角是60°.

其中正確結(jié)論的序號是________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)某水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某河流水位（單位：米）的頻率分布直方圖如下.將河流水位在，，，，，，各段內(nèi)的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)每年河流水位變化互不影響.

（1）求未來4年中，至少有2年該河流水位的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.

（2）已知該河流對沿河工廠的影響如下：當(dāng)時，不會造成影響；當(dāng)時，損失50000元；當(dāng)時，損失300000元.為減少損失，工廠制定了三種應(yīng)對方案.

方案一：不采取措施；

方案二：防御不超過30米的水位，需要工程費(fèi)用8000元；

方案三：防御34米的最高水位，需要工程費(fèi)用20000元.

試問哪種方案更好，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體中，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上的一個動點(diǎn)．有以下三個命題：

①異面直線與所成的角是定值；

②三棱錐的體積是定值；

③直線與平面所成的角是定值．

其中真命題的個數(shù)是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N試問：在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．

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