給出下列四個(gè)命題：
①若|
a
|+|
b
|=0，則
a
=
b
=
0
；
②在△ABC中，若
OA
+
OB
+
OC
=
0
，則O為△ABC的重心；
③若
a
，
b
是共線向量，則
a
•
b
=|
a
|•|
b
|，反之也成立；
④若
a
，
b
是非零向量，則
a
+
b
=
0
的充要條件是存在非零向量
c
，使
a
•
c
+
b
•
c
=
0
．
其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）
分析：對(duì)于①，利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)行判斷；對(duì)于②，延長(zhǎng)AO到E，使OE=AO，交BC于F，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，欲證明O為△ABC的重心，只須證明AO所在的直線為△ABC的邊BC上的中線即可，結(jié)合向量的幾何意義，也就是要證明
OB
+
OC
=
OE
即可．對(duì)于③，利用向量的數(shù)量積公式即可進(jìn)行判斷；對(duì)于④，利用向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
解答：證明：①若|
a
|+|
b
|=0，則|
a
|=|
b
|=0，則
a
=
b
=
0
；
正確；
對(duì)于②：如圖，延長(zhǎng)AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
則
OE
=-
OA
．
而由
OA
+
OB
+
OC
=0，
有
OB
+
OC
=-
OA
，∴
OB
+
OC
=
OE
，
∴四邊形OBEC為平行四邊形．
∴OE平分BC，即AO所在的直線為△ABC的邊BC上的中線．
同理可證，CO，BO所在的直線分別為AB，AC邊上的中線．∴O為△ABC的重心．正確；
對(duì)于③：若
a
，
b
是共線向量，則它們的夾角θ為0或π，則
a
•
b
=|
a
|•|
b
|cosθ=±|
a
|•|
b
|，故③錯(cuò)；
④若
a
，
b
是非零向量，若存在非零向量
c
，使
a
•
c
+
b
•
c
=（
a
+
b
）•
c
=0，說(shuō)明向量（
a
+
b
）與
c
垂直，并不能得出
a
+
b
=
0
，故錯(cuò)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角形重心、三角形重心的應(yīng)用、向量加法的幾何意義、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

12、已知a、b是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若a⊥α，a⊥β，則α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，則a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b．
其中正確命題的序號(hào)有
①④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=
1
x
的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函數(shù)y=x2-4x+6，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇3，6]；
③函數(shù)y=3（x-1）2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個(gè)單位得到；
④若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，則A∩B=A．
其中正確命題的序號(hào)是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將邊長(zhǎng)為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①EF∥AB；②直線EF是異面直線AC與BD的公垂線；③當(dāng)二面角A-BD-C是直二面角時(shí)，AC與BD間的距離為
6
2
；④AC垂直于截面BDE．
其中正確的是
②③④
②③④
（將正確命題的序號(hào)全填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①命題“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2；
③函數(shù)y=tan
x
2
的對(duì)稱中心為（kπ，0），k∈Z；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同；
③函數(shù)y=
1
2
+
1
2x-1
與y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=（x-1）2與y=2x-1在區(qū)間[0，+∞）上都是增函數(shù)，其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

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