【題目】已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線(xiàn)的距離小，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，求的面積；

（2）設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線(xiàn)，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）直線(xiàn)存在，其方程為，定值為.

【解析】

（1）利用拋物線(xiàn)的定義可求得曲線(xiàn)的方程，由題意可得直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式可求得的面積；

（2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，其方程為，并設(shè)點(diǎn)，求出以為直徑的圓的方程，將代入圓的方程，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值，由此可求得直線(xiàn)的方程.

（1）依題意得，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等，

所以曲線(xiàn)的方程為：.

過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)方程為，

設(shè)，，聯(lián)立，得，

則，，則；

（2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，其方程為，設(shè)點(diǎn)，

則以為直徑的圓的方程為，

將直線(xiàn)代入，得，

則，

設(shè)直線(xiàn)與以為直徑的圓的交點(diǎn)為、，

則，，

于是有，

當(dāng)，即時(shí)，為定值.

故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，其方程為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成二面角的余弦值.

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【題目】已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定感染者.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為感染者，呈陰性即為健康.

（1）若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：①逐一化驗(yàn)；②分組混合化驗(yàn)：先將血液分成若干組，對(duì)組內(nèi)血液混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則對(duì)該組的備份血液逐一化驗(yàn)，直至確定感染者.

（i）采取逐一化驗(yàn)，求所需檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

（ii）采取平均分組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），依據(jù)所需化驗(yàn)總次數(shù)的期望，選擇合理的平均分組方案.

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【題目】已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，其面積S．

（1）若a，b，求cosB．

（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線(xiàn)的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線(xiàn)與的交點(diǎn)，點(diǎn)是曲線(xiàn)與的交點(diǎn)，、均異于原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若，則當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，設(shè)，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫(xiě)成（，且，）的形式，則稱(chēng)為“指數(shù)型和”.問(wèn)中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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