Question

設P是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點，M、N分別是兩圓：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1上的點，則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為

8，12

．

Answer 1

分析：由橢圓的方程可求得其焦點坐標F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），而兩圓：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心分別為兩焦點，由于點P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上任意一點，|PF₁|+|PF₂|=10，由圖可知，|PM|+|PN|的最小值為|PF₁|+|PF₂|-2；|PM|+|PN|的最大值為|PF₁|+|PF₂|+2；問題可解決．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1，∴其焦點坐標為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
∴兩圓：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
又點P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上任意一點，
∴|PF₁|+|PF₂|=10，
由圖可知，|PM|+|PN|的最小值為|PF₁|+|PF₂|-2=8；
|PM|+|PN|的最大值為|PC|+|PD|=|PF₁|+|PF₂|+2=12；
故答案為：8，12．

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，關(guān)鍵在于靈活運用橢圓的定義，著重考查數(shù)形結(jié)合的思想與分析轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，考查學生綜合分析與解決問題的能力，屬于難題．