Question

設(shè)P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上任意一點，A和F分別是橢圓的左頂點和右焦點，則

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓方程設(shè)出P的參數(shù)坐標，求得A，F(xiàn)的坐標，進而分別表示出

PA

，

PF

，

AF

代入

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

化簡整理求得其最小值．

解答：解：P的參數(shù)坐標為（5cosθ，4sinθ）；
坐標A（-5，0）；F（3，0）；
則

PA

=（-5-5cosθ，0-4sinθ）；

PF

=（3-5cosθ，0-4sinθ）；
則

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

=（-5-5cosθ）•（3-5cosθ）+16sin²θ+

1

4

（-5-5cosθ，-4sinθ）•（8，0）
=（-5-5cosθ）（3-5cosθ）+16sin²θ+2（-5-5cosθ）
=9cos²θ-9≥-9．
故答案為：-9．

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，參數(shù)坐標的應(yīng)用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．