Question

某公司生產(chǎn)的A型商品通過租賃柜臺進入某商場銷售．第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費，因此，該年A型商品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件．第二年，商場開始對該商品征收比率為p%的管理費（即銷售100元要征收p元），于是該商品的定價上升為每件

70

1-p%

元，預(yù)計年銷售量將減少p萬件．
（1）將第二年商場對該商品征收的管理費y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）要使第二年商場在此項經(jīng)營中收取的管理費不少于14萬元，則商場對該商品征收管理費的比率p%的范圍是多少？
（3）第二年，商場在所收管理費不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（1）依題意，先求第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬件，年銷售收入

70

1-p%

（11.8-p）萬元，從而可求第二年商場對該商品征收的管理費y（萬元）表示成p的函數(shù)；
（2）由y≥14，建立不等式

7

100-p

（118-10p）p≥14，可求商場收取的管理費的范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求函數(shù)的最值，注意函數(shù)的定義域及函數(shù)為減函數(shù)可求．

解答：解：（1）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬件，年銷售收入為

70

1-p%

（11.8-p）萬元，?
則商場該年對該商品征收的總管理費為

70

1-p%

（11.8-p）p%（萬元）．故所求函數(shù)為：y=

7

100-p

（118-10p）p．
11.8-p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜

59

5

．
（2）由y≥14，得

7

100-p

（118-10p）p≥14．?化簡得p²-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．?
故當比率在[2%，10%]內(nèi)時，商場收取的管理費將不少于14萬元．
（3）第二年，當商場收取的管理費不少于14萬元時，
廠家的銷售收入為g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）（2≤p≤10）．
∵g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）=700（10+

882

p-100

）為減函數(shù)，?
∴g（p）_max=g（2）=700（萬元）．?
故當比率為2%時，廠家銷售金額最大，且商場所收管理費又不少于14萬元

點評：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)，同時考查解不等式，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．