Question

某公司生產(chǎn)的A型商品通過(guò)租賃柜臺(tái)進(jìn)入某商場(chǎng)銷售．第一年，商場(chǎng)為吸引廠家，決定免收該年管理費(fèi)，因此，該年A型商品定價(jià)為每件70元，年銷售量為12.7萬(wàn)件．第二年，商場(chǎng)開(kāi)始對(duì)該商品征收比率為m%的管理費(fèi)（即銷售100元要征收m元），于是該商品每件的定價(jià)提高

m

1-0.01m

%，預(yù)計(jì)年銷售量將減少m萬(wàn)件．
（Ⅰ）將第二年商場(chǎng)對(duì)該商品征收的管理費(fèi)y（萬(wàn)元）表示成m的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）要使第二年商場(chǎng)在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中收取的管理費(fèi)不少于21萬(wàn)元，則商場(chǎng)對(duì)該商品征收管理費(fèi)的比率m%的范圍是多少？
（Ⅲ）第二年，商場(chǎng)在所收管理費(fèi)不少于21萬(wàn)元的前提下，求使廠家獲得最大銷售金額時(shí)的m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：第二年該商品年銷售量為（12.7-m）萬(wàn)件，銷售價(jià)格為：70(1+

m

1-0.01m

%)=

70

1- m 100

，可得年銷售收入為

70

1- m 100

(12.7-m)萬(wàn)元．則商場(chǎng)該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)為

70

1- m 100

(12.7-m)m%（萬(wàn)元），即可得所求函數(shù)．由12.7-m＞0及m＞0得其定義域．
（II）由利用y≥21，解出即可；
（III）廠家的銷售收入為g(m)=

7000

100-m

(12.7-m)(3≤m≤10)，利用此函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（12.7-m）萬(wàn)件，銷售價(jià)格為：70(1+

m

1-0.01m

%)=

70

1- m 100

，
∴年銷售收入為

70

1- m 100

(12.7-m)萬(wàn)元．
則商場(chǎng)該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)為

70

1- m 100

(12.7-m)m%（萬(wàn)元）
故所求函數(shù)為y=

70

100-m

(12.7-m)•m
由12.7-m＞0及m＞0得其定義域?yàn)閧m|0＜m＜12.7}，
（Ⅱ）由y≥21得

70

100-m

(12.7-m)m≥21
化簡(jiǎn)得m²-13m+30≤0，即（m-3）（m-10）≤0，解得3≤m≤10
故當(dāng)比率在[3%，10%]內(nèi)時(shí)，商場(chǎng)收取的管理費(fèi)將不少于21萬(wàn)元．
（Ⅲ）第二年，當(dāng)商場(chǎng)收取的管理費(fèi)不少于21萬(wàn)元時(shí)，廠家的銷售收入為g(m)=

7000

100-m

(12.7-m)(3≤m≤10)，
∵g(m)=

7000

100-m

(12.7-m)=700(10+

873

m-100

)為減函數(shù)，
∴g（m）_max=g（3）=700（萬(wàn)元）
故當(dāng)比率為3%時(shí)，廠家銷售金額最大，且商場(chǎng)所收管理費(fèi)又不少于21萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：正確理解題意和掌握“年銷售收入=銷售量×銷售價(jià)格”及“商場(chǎng)該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)=年銷售收入×m%”、一元二次不等式的解法及反比例函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．