【題目】將圓周上的所有點(diǎn)進(jìn)行三染色。證明：存在無(wú)窮多個(gè)等腰三角形，其頂點(diǎn)均為圓周上的同色點(diǎn)。

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

先證明一個(gè)引理.

引理 對(duì)一個(gè)正十三邊形的頂點(diǎn)進(jìn)行三染色，則必有一個(gè)三頂點(diǎn)同色的等腰三角形.

證明 反證法.

假設(shè)存在一種染色方法，使得在正十三邊形中不存在同色等腰三角形.

由抽屜原理，知至少有五個(gè)點(diǎn)同色.

下面考慮這五個(gè)點(diǎn)的分布情形.

1 若這五個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)不相鄰，設(shè)這五個(gè)中相鄰兩點(diǎn)所間隔的邊數(shù)依次為a、b、c、d、e，則a+b+c+d+e=13，且a、b、c、d、e≥2.

故至少有兩個(gè)值為2，其余三個(gè)要么均為3 ，要么還存在第三個(gè)值為2，即a、b、c、d、e中存在三個(gè)數(shù)相等.這三條線(xiàn)段有六個(gè)端點(diǎn)，而同色點(diǎn)只有五個(gè).因此，至少有兩條線(xiàn)段有公共頂點(diǎn)，則構(gòu)成了等腰三角形，與假設(shè)矛盾.

2 若這五個(gè)點(diǎn)中存在相鄰的點(diǎn)，不妨設(shè)為.據(jù)假設(shè)，知不存在同色等腰三角形.從而，排除點(diǎn).如圖.

若點(diǎn)也染了該色，則排除點(diǎn)，在剩下的點(diǎn)中任選兩個(gè)染色，均與假設(shè)矛盾.故點(diǎn)染了其他顏色.由對(duì)稱(chēng)性，知點(diǎn)也染了其他顏色.

若點(diǎn)染了該色，則排除點(diǎn)，在剩下的點(diǎn)中任選兩個(gè)染色，均與假設(shè)矛盾.故點(diǎn)染了其他顏色.由對(duì)稱(chēng)性，知點(diǎn)也染了其他顏色.

在剩下的點(diǎn)中任選三個(gè)染色，均與假設(shè)矛盾.

因此，假設(shè)不成立.

引理得證.

由于圓周上的點(diǎn)可以構(gòu)成無(wú)窮多個(gè)正十三邊形，據(jù)引理，知存在無(wú)窮多個(gè)同色等腰三角形.

又由于只有三種顏色，則存在無(wú)窮多個(gè)等腰三角形，其頂點(diǎn)均為圓周上的同色點(diǎn).

證明 記△DEF的外接圓、△BHC的外接圓分別為.

因?yàn)锽、F、H、D四點(diǎn)共圓，所以，PB·PH=PD·PF.

于是，點(diǎn)P在圓與的根軸上.

類(lèi)似地，由C、E、H、D四點(diǎn)共圓，知點(diǎn)Q 在圓與的根軸上.

由于點(diǎn)S在圓與的根軸PQ上，故點(diǎn)S在圓上.

以H為反演中心，-HA·HD為反演冪作反演變換，則

.

由于M為EF與圓的交點(diǎn)，S為圓與的交點(diǎn)，從而，.

因此，M、H、S三點(diǎn)共線(xiàn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，其中的“更相減損術(shù)”可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，原文是：可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之. 翻譯為現(xiàn)代的語(yǔ)言如下：如果需要對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分，那么可以折半的話(huà)，就折半（也就是用2來(lái)約分）.如果不可以折半的話(huà)，那么就比較分母和分子的大小，用大數(shù)減去小數(shù)，互相減來(lái)減去，一直到減數(shù)與差相等為止，用這個(gè)相等的數(shù)字來(lái)約分，現(xiàn)給出“更相減損術(shù)”的程序框圖如圖所示，如果輸入的，，則輸出的（ ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本題滿(mǎn)分12分）某工廠(chǎng)有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：，，，，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率．

（Ⅱ）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

附表：

P（）

0．100

0．010

0．001

k

2．706

6．635

10．828

，（其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列說(shuō)法：

①如果一條線(xiàn)段的中點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么它的兩個(gè)端點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)；

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

④若一個(gè)四邊形有三條邊在同一個(gè)平面內(nèi)，則第四條邊也在這個(gè)平面內(nèi)；

⑤點(diǎn)在平面外，點(diǎn)和平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都不共面.

其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)作為藍(lán)色海洋教育特色學(xué)校，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，進(jìn)行一次海洋知識(shí)測(cè)試，按測(cè)試成績(jī)(假設(shè)考試成績(jī)均在[65，90)內(nèi))分組如下：第一組[65，70)，第二組 [70，75)，第三組[75，80)，第四組 [80，85)，第五組 [85，90)．得到頻率分布直方圖如圖C34.

(1)求測(cè)試成績(jī)?cè)赱80，85)內(nèi)的頻率；

(2)從第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成海洋知識(shí)宣講小組，定期在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，并在這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名參加市組織的藍(lán)色海洋教育義務(wù)宣講隊(duì)，求第四組至少有1名學(xué)生被抽中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將下列問(wèn)題的解答過(guò)程補(bǔ)充完整．

依次計(jì)算數(shù)列，，，，…的前四項(xiàng)的值，由此猜測(cè)的有限項(xiàng)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

解：計(jì)算 ，

，

① ，

② ，

由此猜想 ③ ．（*）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這一猜想．

（i）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以等式成立．

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即

④ ．

那么，當(dāng)時(shí)，

⑤

⑥

⑦ ．

等式也成立．

根據(jù)（i）和（ⅱ）可以斷定，（*）式對(duì)任何都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且．

（1）求A；

（2）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某高校數(shù)學(xué)學(xué)院為了對(duì)2018年錄取的大一新生有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué).從大一新生中隨機(jī)抽取40名，對(duì)他們?cè)?018年高考的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)40名新生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分布在內(nèi).當(dāng)時(shí)，其頻率.

（1）求的值；

（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中畫(huà)出這40名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，并估計(jì)這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

（3）若高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于120分的為優(yōu)秀，低于120分的為不優(yōu)秀，則按高考成績(jī)優(yōu)秀與否從這40名新生中用分層抽樣的方法抽取4名學(xué)生，再?gòu)倪@4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生的高考成績(jī)均為優(yōu)秀的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)為了了解顧客的購(gòu)物信息，隨機(jī)在商場(chǎng)收集了位顧客購(gòu)物的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

一次購(gòu)物款（單位：元）

顧客人數(shù)

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示位顧客中購(gòu)物款不低于元的顧客占，該商場(chǎng)每日大約有名顧客，為了增加商場(chǎng)銷(xiāo)售額度，對(duì)一次購(gòu)物不低于元的顧客發(fā)放紀(jì)念品.

（Ⅰ）試確定， 的值，并估計(jì)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量；

（Ⅱ）現(xiàn)有人前去該商場(chǎng)購(gòu)物，求獲得紀(jì)念品的數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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